ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 4 Номер 870 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Известно, что (a_n) — сходящаяся последовательность. При каком условии последовательность a_1, 0, a_2, 0, a_3, 0, …, a_n, 0, … является сходящейся?

Дана последовательность: \(a_1; 0; a_2; 0; \dots; a_n; 0; \dots;\)

1) Если \(n = 2k\), тогда:

\[
\lim_{n \to \infty} x_n = \lim_{n \to \infty} 0 = 0;
\]

2) Если \(n = 2k — 1\), тогда:

\[
\lim_{n \to \infty} x_n = \lim_{n \to \infty} a_n = 0;
\]

Ответ:

\[
\lim_{n \to \infty} a_n = 0.
\]

Задание:

Дана последовательность:

\( a_1; 0; a_2; 0; \dots; a_n; 0; \dots;
\)

1) Если \( n = 2k \), тогда:

Когда \( n \) четное, все элементы последовательности, стоящие на четных позициях, равны нулю. Таким образом, для четных \( n \) предел последовательности будет равен 0, так как все элементы равны 0:

\( \lim_{n \to \infty} x_n = \lim_{n \to \infty} 0 = 0;
\)

2) Если \( n = 2k — 1 \), тогда:

Когда \( n \) нечетное, элементы последовательности, стоящие на нечетных позициях, равны \( a_n \). Мы знаем, что последовательность \( a_n \) стремится к нулю, так как \( a_n \) со временем будет стремиться к 0, так как элементы на четных позициях уже равны 0. Таким образом, предел последовательности для нечетных \( n \) также равен 0:

\( \lim_{n \to \infty} x_n = \lim_{n \to \infty} a_n = 0;
\)

Ответ: \( \lim_{n \to \infty} a_n = 0. \)