ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 4 Номер 869 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Верно ли, что предел последовательности (u_n) равен нулю, если:

а) u_n=1/6^n; б) u_n=(-1)^n/(n+6); в) u_n=(-1)^n 3+3?

Будет ли равен нулю предел данной последовательности:

а) \(u_n = \frac{1}{6n};\)

При любом значении:

\[
\lim_{n \to \infty} u_n = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{6n} = 0;
\]

Ответ: да.

б) \(u_n = \frac{(-1)^n}{n + 6};\)

Если \(n = 2k — 1\), тогда:

\[
\lim_{n \to \infty} u_n = \lim_{n \to \infty} \frac{-1}{n + 6} = 0;
\]

Если \(n = 2k\), тогда:

\[
\lim_{n \to \infty} u_n = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n + 6} = 0;
\]

Ответ да.

в) \(u_n = (-1)^n 3 + 3;\)

Если \(n = 2k — 1\), тогда:

\[
\lim_{n \to \infty} u_n = \lim_{n \to \infty} (3 — 3) = 0;
\]

Если \(n = 2k\), тогда:

\[
\lim_{n \to \infty} u_n = \lim_{n \to \infty} (3 + 3) = 6;
\]

Ответ: нет.

Задание:

а) Рассмотрим последовательность:

\( u_n = \frac{1}{6n};
\)

Мы знаем, что при \( n \to \infty \) выражение \( \frac{1}{6n} \) стремится к нулю, так как знаменатель стремится к бесконечности. Таким образом:

\( \lim_{n \to \infty} u_n = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{6n} = 0;
\)

Ответ: да.

б) Рассмотрим последовательность:

\( u_n = \frac{(-1)^n}{n + 6};
\)

Для нечетных значений \( n = 2k — 1 \), последовательность будет стремиться к нулю, так как числитель \( (-1)^n \) ограничен, а знаменатель \( n + 6 \) будет расти до бесконечности:

\( \lim_{n \to \infty} u_n = \lim_{n \to \infty} \frac{-1}{n + 6} = 0;
\)

Для четных значений \( n = 2k \), числитель также ограничен, а знаменатель \( n + 6 \) будет расти до бесконечности:

\( \lim_{n \to \infty} u_n = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n + 6} = 0;
\)

Ответ: да.

в) Рассмотрим последовательность:

\( u_n = (-1)^n 3 + 3;
\)

Для нечетных значений \( n = 2k — 1 \), когда \( (-1)^n = -1 \), выражение будет стремиться к нулю:

\( \lim_{n \to \infty} u_n = \lim_{n \to \infty} (3 — 3) = 0;
\)

Для четных значений \( n = 2k \), когда \( (-1)^n = 1 \), выражение будет равно 6:

\( \lim_{n \to \infty} u_n = \lim_{n \to \infty} (3 + 3) = 6;
\)

Ответ: нет.