ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 4 Номер 867 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Три числа, сумма которых равна 42, являются первыми тремя членами геометрической прогрессии и одновременно вторым, пятым и одиннадцатым членами арифметической прогрессии. Сколько членов геометрической прогрессии надо сложить, чтобы их сумма была равна 762?

Геометрическая прогрессия:

\(b_1 + b_2 + b_3 = 42,\) \(S_n = 762;\)

1) В арифметической прогрессии:

\[
a_5 — a_2 = (a_1 + 4d) — (a_1 + d) = 3d; \quad a_{11} — a_5 =\]

\[(a_1 + 10d) — (a_1 + 4d) = 6d;
\]

\[
2(a_5 — a_2) = a_{11} — a_5; \quad 2a_5 — 2a_2 = a_{11} — a_5;
\]

\[
3a_5 — 2a_2 — a_{11} = 0; \quad 3b_2 — 2b_1 — b_3 = 0;
\]

\[
3b_1q — 2b_1 — b_1q^2 = 0; \quad 3q — 2 — q^2 = 0;
\]

\[q^2 — 3q + 2 = 0;
\]

\[
D = 9 — 4 = 5, \quad q_1 = \frac{3 — 1}{2} = 1, \quad q_2 = \frac{3 + 1}{2} = 2.
\]

2) Из первого равенства:

\[
b_1 + b_1q + b_1q^2 = 42;
\]

\[
b_1 + 2b_1 + 4b_1 = 42;
\]

\[
7b_1 = 42, \quad b_1 = 6.
\]

3) Из второго равенства:

\[
S_n = \frac{b_1(q^n — 1)}{q — 1} = 762;
\]

\[
6 \cdot \frac{2^n — 1}{2 — 1} = 762;
\]

\[
2^n — 1 = 127;
\]

\[
2^n = 128, \quad n = 7.
\]

Ответ: \(7.\)

Задание:

Дана геометрическая прогрессия:

\( b_1 + b_2 + b_3 = 42, \quad S_n = 762;
\)

1) В арифметической прогрессии:

Задано равенство для членов арифметической прогрессии:

\( a_5 — a_2 = (a_1 + 4d) — (a_1 + d) = 3d, \quad a_{11} — a_5 =\)

\((a_1 + 10d) — (a_1 + 4d) = 6d;\)

Теперь приравняем \( 2(a_5 — a_2) \) к \( a_{11} — a_5 \):

\( 2(a_5 — a_2) = a_{11} — a_5, \quad 2a_5 — 2a_2 = a_{11} — a_5;
\)

После упрощения получаем:

\( 3a_5 — 2a_2 — a_{11} = 0, \quad 3b_2 — 2b_1 — b_3 = 0;
\)

Подставляем выражения для членов геометрической прогрессии \( b_2 = b_1 \cdot q \) и \( b_3 = b_1 \cdot q^2 \):

\( 3b_1q — 2b_1 — b_1q^2 = 0;
\)

Вынесем \( b_1 \) за скобки:

\( b_1 (3q — 2 — q^2) = 0;
\)

Поскольку \( b_1 \neq 0 \), получаем уравнение для \( q \):

\( q^2 — 3q + 2 = 0;
\)

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

\( D = 9 — 4 = 5, \quad q_1 = \frac{3 — 1}{2} = 1, \quad q_2 = \frac{3 + 1}{2} = 2;
\)

2) Из первого равенства:

Используем равенство для суммы первых трёх членов геометрической прогрессии:

\( b_1 + b_1q + b_1q^2 = 42;
\)

Подставляем значения для \( q = 1 \) и \( q = 2 \):

Для \( q = 1 \):

\( b_1 + b_1 \cdot 1 + b_1 \cdot 1 = 42 \quad \Rightarrow \quad 3b_1 = 42, \quad b_1 = 14;
\)

Для \( q = 2 \):

\( b_1 + 2b_1 + 4b_1 = 42 \quad \Rightarrow \quad 7b_1 = 42, \quad b_1 = 6;
\)

3) Из второго равенства:

Используем формулу для суммы геометрической прогрессии:

\( S_n = \frac{b_1(q^n — 1)}{q — 1} = 762;
\)

Подставляем \( b_1 = 6 \) и \( q = 2 \):

\( 6 \cdot \frac{2^n — 1}{2 — 1} = 762;
\)

Упростим уравнение:

\( 2^n — 1 = 127;
\)

Теперь решим для \( 2^n \):

\( 2^n = 128, \quad n = 7;
\)

Ответ: \( n = 7 \).