ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 4 Номер 866 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Найдите число членов конечной возрастающей геометрической прогрессии, если известно, что сумма первого и последнего членов равна 9,9, произведение второго и предпоследнего членов равно 2,88, а сумма всех членов прогрессии равна 18,9.

Геометрическая прогрессия:

\(b_1 + b_n = 9,9,\) \(S_n = 18,9;\)

\(b_2 \cdot b_{n-1} = 2,88;\)

1) Из второго равенства:

\[
(b_1 \cdot q) \cdot (b_1 \cdot q^{n-2}) = 2,88;
\]

\[
b_1^2 \cdot q^{n-1} = 2,88, \, q^{n-1} = \frac{2,88}{b_1^2};
\]

2) Из первого равенства:

\[
b_1 + b_1 \cdot q^{n-1} = 9,9;
\]

\[
b_1 \cdot (1 + q^{n-1}) = 9,9;
\]

\[
b_1 \cdot \left(1 + \frac{2,88}{b_1^2}\right) = 9,9;
\]

\[
b_1^2 — 9,9b_1 + 2,88 = 0;
\]

\[
D = 9,9^2 — 4 \cdot 2,88 = 98,01 — 11,52 = 86,49, \, \text{тогда:}
\]

\[
b_{1,1} = \frac{9,9 — 9,3}{0,6} = 0,3, \, b_{1,2} = \frac{9,9 + 9,3}{0,6} = 9,6;
\]

\[
q^{n-1} = \frac{2,88}{0,3^2} = \frac{2,88}{0,09} = 32, \, q^{n-1} = \frac{2,88}{9,6^2} = \frac{2,88}{92,16} = \frac{1}{32}.
\]

3) Из третьего равенства:

\[
S_n = \frac{b_1(q^n — 1)}{q — 1} = 18,9;
\]

\[
\frac{0,3 \cdot (32q — 1)}{q — 1} = 18,9;
\]

\[
32q — 1 = 63(q — 1);
\]

\[
32q — 1 = 63q — 63;
\]

\[
31q = 62, \, q = 2;
\]

\[
2^{n-1} = 32 = 2^5;
\]

\[
n — 1 = 5, \, n = 6;
\]

Ответ: \(6.\)

Задание:

Дана геометрическая прогрессия:

\( b_1 + b_n = 9,9, \, S_n = 18,9;
\)

\( b_2 \cdot b_{n-1} = 2,88;
\)

1) Из второго равенства:

Из второго равенства \( b_2 \cdot b_{n-1} = 2,88 \), подставляем выражения для \( b_2 = b_1 \cdot q \) и \( b_{n-1} = b_1 \cdot q^{n-2} \):

\( (b_1 \cdot q) \cdot (b_1 \cdot q^{n-2}) = 2,88;
\)

Упростим это уравнение:

\( b_1^2 \cdot q^{n-1} = 2,88, \quad q^{n-1} = \frac{2,88}{b_1^2};
\)

2) Из первого равенства:

Используем первое равенство \( b_1 + b_1 \cdot q^{n-1} = 9,9 \):

\( b_1 \cdot (1 + q^{n-1}) = 9,9;
\)

Подставим выражение для \( q^{n-1} \):

\( b_1 \cdot \left( 1 + \frac{2,88}{b_1^2} \right) = 9,9;
\)

Умножим обе части на \( b_1 \):

\( b_1^2 + 2,88 = 9,9b_1;
\)

Преобразуем уравнение:

\( b_1^2 — 9,9b_1 + 2,88 = 0;
\)

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

\( D = 9,9^2 — 4 \cdot 1 \cdot 2,88 = 98,01 — 11,52 = 86,49, \quad \text{тогда:}
\)

Корни уравнения:

\( b_{1,1} = \frac{9,9 — 9,3}{0,6} = 0,3, \quad b_{1,2} = \frac{9,9 + 9,3}{0,6} = 9,6;
\)

Теперь найдем \( q^{n-1} \) для каждого значения \( b_1 \):

Для \( b_1 = 0,3 \): \( q^{n-1} = \frac{2,88}{0,3^2} = \frac{2,88}{0,09} = 32;
\)

Для \( b_1 = 9,6 \): \( q^{n-1} = \frac{2,88}{9,6^2} = \frac{2,88}{92,16} = \frac{1}{32};
\)

3) Из третьего равенства:

Теперь используем формулу для суммы первых \( n \) членов геометрической прогрессии:

\( S_n = \frac{b_1(q^n — 1)}{q — 1} = 18,9;
\)

Подставим \( b_1 = 0,3 \) и \( q^{n-1} = 32 \):

\( \frac{0,3 \cdot (32q — 1)}{q — 1} = 18,9;
\)

Умножим обе части на \( q — 1 \):

\( 32q — 1 = 63(q — 1);
\)

Раскроем скобки:

\( 32q — 1 = 63q — 63;
\)

Переносим все члены на одну сторону:

\( 31q = 62, \quad q = 2;
\)

Теперь подставим значение \( q = 2 \) в выражение для \( q^{n-1} \):

\( 2^{n-1} = 32 = 2^5, \quad n — 1 = 5, \quad n = 6;
\)

Ответ: \( n = 6 \).