ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 4 Номер 864 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Докажите, что если числа a, b, c, d составляют геометрическую прогрессию, то:

а) (a-c)^2+(b-c)^2=(a-d)^2+(b-d)^2;

б) (a^2+b^2+c^2)(a^2+c^2+d^2)=(ab+bc+cd)^2.

В геометрической прогрессии:

\[
b_1 = a, \, b_2 = b, \, b_3 = c, \, b_4 = d;
\]

a)
\[
(a — c)^2 + (b — c)^2 = (a — d)^2 + (b — d)^2;
\]

Пусть \(a = 1, \, b = 2, \, c = 4, \, d = 8\), тогда:

\[
(1 — 4)^2 + (2 — 4)^2 = (1 — 8)^2 + (2 — 8)^2;
\]

\[
3^2 + 2^2 = 7^2 + 6^2, \, 9 + 4 = 49 + 36;
\]

Равенство не выполняется.

б)
\[
(a^2 + b^2 + c^2)(b^2 + c^2 + d^2) = (ab + bc + cd)^2;
\]

Из левой части равенства:

\[
(a^2 + (aq)^2 + (aq^2)^2)((aq)^2 + (aq^2)^2 + (aq^3)^2) =
\]

\[
(a^2 + a^2q^2 + a^2q^4)(a^2q^2 + a^2q^4 + a^2q^6) =
\]

\[
a^2(1 + q^2 + q^4) \cdot a^2q^2(1 + q^2 + q^4) =
\]

\[
a^4q^2 \cdot (1 + q^2 + q^4)^2.
\]

Из правой части равенства:

\[
(a \cdot aq + aq \cdot aq^2 + aq^2 \cdot aq^3)^2 =
\]

\[
(a^2q + a^2q^3 + a^2q^5)^2 =
\]

\[
a^4q^2 \cdot (1 + q^2 + q^4)^2.
\]

Что и требовалось доказать.

Задание:

В геометрической прогрессии:

\( b_1 = a, \, b_2 = b, \, b_3 = c, \, b_4 = d;
\)

a) Проверим первое равенство:

Дано равенство:

\( (a — c)^2 + (b — c)^2 = (a — d)^2 + (b — d)^2;
\)

Подставим значения \( a = 1, \, b = 2, \, c = 4, \, d = 8 \):

\( (1 — 4)^2 + (2 — 4)^2 = (1 — 8)^2 + (2 — 8)^2;
\)

Выполняем вычисления:

\( 3^2 + 2^2 = 7^2 + 6^2, \quad 9 + 4 = 49 + 36;
\)

Получаем, что:

\( 13 \neq 85;
\)

Следовательно, равенство не выполняется.

б) Проверим второе равенство:

Дано равенство:

\( (a^2 + b^2 + c^2)(b^2 + c^2 + d^2) = (ab + bc + cd)^2;\)

Начнем с левой части равенства. Подставляем члены геометрической прогрессии с учетом того, что \( b_2 = a \cdot q, b_3 = a \cdot q^2, b_4 = a \cdot q^3 \):

\( (a^2 + (aq)^2 + (aq^2)^2)((aq)^2 + (aq^2)^2 + (aq^3)^2) =
\)

Упростим выражение:

\((a^2 + a^2q^2 + a^2q^4)(a^2q^2 + a^2q^4 + a^2q^6) =\)

Извлекаем общий множитель \( a^2 \) и получаем:

\( a^2(1 + q^2 + q^4) \cdot a^2q^2(1 + q^2 + q^4) =
\)

Умножаем и получаем:

\( a^4q^2 \cdot (1 + q^2 + q^4)^2.
\)

Теперь рассмотрим правую часть равенства:

\( (a \cdot aq + aq \cdot aq^2 + aq^2 \cdot aq^3)^2 =
\)

Упростим выражение, раскрыв скобки:

\( (a^2q + a^2q^3 + a^2q^5)^2 =
\)

Снова извлекаем общий множитель \( a^2 \):

\( a^4q^2 \cdot (1 + q^2 + q^4)^2.
\)

Ответ: Мы доказали, что обе части равенства равны, как и требовалось.