ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 4 Номер 863 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Докажите, что если знаменатель геометрической прогрессии равен (1+v5)/2, то каждый её член, начиная со второго, равен разности последующего и предыдущего членов.

В геометрической прогрессии:
\[
q = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}, \, b_n = b_{n+1} — b_{n-1};
\]

Из данного равенства:
\[
b_1 \cdot q^{n-1} = b_1 \cdot q^n — b_1 \cdot q^{n-2};
\]

\[
q^{n-1} = q^n — q^{n-2}, \, q^n = q^{n-2}, \, q^2 — 1 = q;
\]

\[
\left(\frac{1 + \sqrt{5}}{2}\right)^2 — 1 = \frac{1 + \sqrt{5}}{2};
\]

\[
\frac{1 + 2\sqrt{5} + 5}{4} — 1 = \frac{1 + \sqrt{5}}{2};
\]

\[
\frac{2 + 2\sqrt{5}}{4} = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}.
\]

Что и требовалось доказать.

Задание:

В геометрической прогрессии:

\( q = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}, \, b_n = b_{n+1} — b_{n-1};
\)

Из данного равенства:

Имеем равенство:

\( b_1 \cdot q^{n-1} = b_1 \cdot q^n — b_1 \cdot q^{n-2};
\)

Упростим его, поделив обе части на \( b_1 \) (предполагаем, что \( b_1 \neq 0 \)):

\( q^{n-1} = q^n — q^{n-2};
\)

Переносим \( q^{n-2} \) в левую часть уравнения:

\( q^{n-1} = q^n — q^{n-2}, \quad q^n = q^{n-2}, \quad q^2 — 1 = q;
\)

Теперь подставим значение \( q = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \) и подставим его в уравнение:

\( \left(\frac{1 + \sqrt{5}}{2}\right)^2 — 1 = \frac{1 + \sqrt{5}}{2};
\)

Посчитаем квадрат числа \( \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \):

\( \left( \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \right)^2 = \frac{1 + 2\sqrt{5} + 5}{4} = \frac{6 + 2\sqrt{5}}{4} = \frac{2 + 2\sqrt{5}}{4};
\)

Теперь вычитаем 1:

\( \frac{2 + 2\sqrt{5}}{4} — 1 = \frac{2 + 2\sqrt{5}}{4} — \frac{4}{4} = \frac{2 + 2\sqrt{5} — 4}{4} = \frac{-2 + 2\sqrt{5}}{4} = \frac{1 + \sqrt{5}}{2};
\)

Ответ: Мы доказали, что \( \left( \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \right)^2 — 1 = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \), как и требовалось.