ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 4 Номер 862 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Докажите, что только последовательность равных чисел является одновременно арифметической и геометрической прогрессией.

Дана последовательность: \( x_1, \, x_2, \, x_3; \)

1) Геометрическая прогрессия:
\[
x_2 = x_1 \cdot q, \, x_3 = x_1 \cdot q^2;
\]

2) Арифметическая прогрессия:
\[
x_3 — x_2 = x_2 — x_1;
\]

\[
x_1 \cdot q^2 — x_1 \cdot q = x_1 \cdot q — x_1;
\]

\[
q^2 — q = q — 1, \, q^2 — 2q + 1 = 0;
\]

\[
(q — 1)^2 = 0, \, q — 1 = 0, \, q = 1;
\]

\[
x_1 = x_2 = x_3.
\]

Что и требовалось доказать.

Задание:

Дана последовательность: \( x_1, \, x_2, \, x_3; \)

1) Геометрическая прогрессия:

В условиях задачи указано, что последовательность \( x_1, x_2, x_3 \) является геометрической прогрессией. Это означает, что каждый следующий член прогрессии получается путем умножения предыдущего на некоторую постоянную разность (знаменатель прогрессии), который обозначается как \( q \). Таким образом:

\( x_2 = x_1 \cdot q, \, x_3 = x_1 \cdot q^2;
\)

Здесь \( x_2 \) — второй член прогрессии, который равен первому члену \( x_1 \), умноженному на знаменатель прогрессии \( q \). Третий член \( x_3 \) равен первому члену \( x_1 \), умноженному на \( q^2 \), поскольку это второй шаг умножения на \( q \).

2) Арифметическая прогрессия:

Далее по условиям задачи последовательность \( x_1, x_2, x_3 \) должна удовлетворять свойству арифметической прогрессии. В арифметической прогрессии разность между любыми двумя последовательными членами является постоянной. Это означает, что разность между \( x_2 \) и \( x_1 \) должна быть равна разности между \( x_3 \) и \( x_2 \). Математически это записывается так:

\( x_3 — x_2 = x_2 — x_1;
\)

Теперь подставим выражения для \( x_2 \) и \( x_3 \) через \( x_1 \) и \( q \) из геометрической прогрессии:

\( (x_1 \cdot q^2) — (x_1 \cdot q) = (x_1 \cdot q) — x_1;
\)

Упростим это уравнение:

\( x_1 \cdot q^2 — x_1 \cdot q = x_1 \cdot q — x_1;
\)

Теперь вынесем общий множитель \( x_1 \) за скобки в левой части и правой части уравнения:

\( x_1 (q^2 — q) = x_1 (q — 1);
\)

Если \( x_1 \neq 0 \) (что предполагается, так как последовательность должна быть ненулевой), можем разделить обе части на \( x_1 \), и получим:

\( q^2 — q = q — 1;
\)

Теперь перенесем все члены на одну сторону уравнения:

\( q^2 — q — q + 1 = 0;
\)

Упростим выражение:

\( q^2 — 2q + 1 = 0;
\)

Это уравнение является полным квадратом, и его можно записать как:

\( (q — 1)^2 = 0;
\)

Теперь решим это уравнение для \( q \):

\( q — 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad q = 1;
\)

Итак, мы нашли, что знаменатель прогрессии \( q \) равен 1.

3) Значения членов последовательности:

Теперь, когда мы знаем, что \( q = 1 \), подставим это значение обратно в выражения для \( x_1 \), \( x_2 \) и \( x_3 \). Из геометрической прогрессии мы имеем:

\( x_2 = x_1 \cdot 1 = x_1, \quad x_3 = x_1 \cdot 1^2 = x_1;
\)

Таким образом, все члены последовательности \( x_1, x_2, x_3 \) равны между собой, и это можно записать так:

\( x_1 = x_2 = x_3;
\)

Ответ: Мы доказали, что \( x_1 = x_2 = x_3 \), как и требовалось.