ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 4 Номер 861 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Сумма трёх чисел, составляющих геометрическую прогрессию, равна 21, а сумма их квадратов равна 189. Найдите эти числа.

В геометрической прогрессии:
\( S_3 = 21, \, b_1^2 + b_2^2 + b_3^2 = 189; \)

1) Из первого равенства:
\[
S_3 = b_1 \frac{q^3 — 1}{q — 1} = 21;
\]

\[
b_1 (q — 1)(q^2 + q + 1) = 21;
\]

\[
b_1 (q^2 + q + 1) = 21;
\]

\[
b_1 = \frac{21}{q^2 + q + 1};
\]

2) Из второго равенства:
\[
b_1^2 \cdot \frac{q^6 — 1}{q^2 — 1} = 189;
\]

\[
\frac{21^2}{(q^2 + q + 1)^2} \cdot \frac{(q^3 + 1)(q^3 — 1)}{(q — 1)(q + 1)} = 189;
\]

\[
\frac{21^2}{q^2 + q + 1} \cdot \frac{q^3 + 1}{q + 1} = 189;
\]

\[
b_1 (q + 1)(q^2 — q + 1) = 9;
\]

\[
21(q^2 — q + 1) = 9(q^2 + q + 1);
\]

\[
21q^2 — 21q + 21 = 9q^2 + 9q + 9;
\]

\[
12q^2 — 30q + 12 = 0;
\]

\[
2q^2 — 5q + 2 = 0;
\]

Дискриминант:
\[
D = 5^2 — 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 — 16 = 9,
\]

\[
q_1 = \frac{5 — 3}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}, \,
q_2 = \frac{5 + 3}{2 \cdot 2} = \frac{8}{4} = 2;
\]

\[
b_{1,1} = \frac{21}{\frac{1}{4} + \frac{1}{2} + 1} = 12, \,
b_{1,2} = \frac{21}{4 + 2 + 1} = 3;
\]

\[
b_{2,1} = b_{1,1} \cdot q = 6, \,
b_{2,2} = b_{1,2} \cdot q = 6;
\]

\[
b_{3,1} = b_{2,1} \cdot q = 3, \,
b_{3,2} = b_{2,2} \cdot q = 12.
\]

Ответ:

\( 12; 6; 3 \) или \( 3; 6; 12. \)

Задание:

В геометрической прогрессии:

\( S_3 = 21, \, b_1^2 + b_2^2 + b_3^2 = 189;
\)

1) Из первого равенства:

Используем формулу для суммы первых 3 членов геометрической прогрессии:

\( S_3 = b_1 \cdot \frac{q^3 — 1}{q — 1} = 21;
\)

Умножим обе части на \( q — 1 \):

\( b_1 (q — 1)(q^2 + q + 1) = 21;
\)

Теперь выразим \( b_1 \):

\( b_1 (q^2 + q + 1) = 21, \quad b_1 = \frac{21}{q^2 + q + 1};
\)

2) Из второго равенства:

Используем второе равенство для суммы квадратов членов прогрессии:

\( b_1^2 \cdot \frac{q^6 — 1}{q^2 — 1} = 189;
\)

Подставим значение для \( b_1^2 \):

\( \frac{21^2}{(q^2 + q + 1)^2} \cdot \frac{(q^3 + 1)(q^3 — 1)}{(q — 1)(q + 1)} = 189;
\)

Упростим выражение:

\( \frac{21^2}{q^2 + q + 1} \cdot \frac{q^3 + 1}{q + 1} = 189;
\)

Теперь умножим обе части на \( q + 1 \):

\( b_1 (q + 1)(q^2 — q + 1) = 9;
\)

Подставим значение для \( b_1 = \frac{21}{q^2 + q + 1} \):

\( 21(q^2 — q + 1) = 9(q^2 + q + 1);
\)

Раскроем скобки и упростим:

\( 21q^2 — 21q + 21 = 9q^2 + 9q + 9;
\)

Переносим все члены на одну сторону:

\( 12q^2 — 30q + 12 = 0;
\)

Делим на 2:

\( 2q^2 — 5q + 2 = 0;
\)

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

\( D = (-5)^2 — 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 — 16 = 9, \quad \text{тогда:}
\)

Корни уравнения:

\( q_1 = \frac{5 — 3}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}, \quad q_2 = \frac{5 + 3}{2 \cdot 2} = \frac{8}{4} = 2;
\)

Теперь находим значения для \( b_1 \) для каждого значения \( q \):

Для \( q_1 = \frac{1}{5} \): \( b_1 = \frac{21}{\frac{1}{4} + \frac{1}{2} + 1} = 12;
\)

Для \( q_2 = 5 \): \( b_1 = \frac{21}{4 + 2 + 1} = 3;
\)

Теперь находим остальные члены прогрессии:

Для \( q_1 = \frac{1}{5} \), и \( q_2 = 5.