ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 4 Номер 860 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Докажите, что если (b_n) — геометрическая прогрессия и b_p·b_m=b_k·b_l, то p+m=k+l.

В геометрической прогрессии:

\( b_p \cdot b_m = b_k \cdot b_l, \, b_1, \, q; \)

Из заданного равенства:

\[
b_1 q^{p-1} \cdot b_1 q^{m-1} = b_1 q^{k-1} \cdot b_1 q^{l-1};
\]

\[
b_1^2 \cdot q^{p-1+m-1} = b_1^2 \cdot q^{k-1+l-1};
\]

\[
q^{p+m-2} = q^{k+l-2};
\]

\[
p + m — 2 = k + l — 2;
\]

\[
p + m = k + l.
\]

Что и требовалось доказать.

Задание:

В геометрической прогрессии:

\( b_p \cdot b_m = b_k \cdot b_l, \, b_1, \, q;
\)

Из заданного равенства:

Начнем с подстановки формул для членов геометрической прогрессии. Из формулы для \( b_n \), где \( b_n = b_1 \cdot q^{n-1} \), мы получаем:

\( b_1 q^{p-1} \cdot b_1 q^{m-1} = b_1 q^{k-1} \cdot b_1 q^{l-1};
\)

Упростим это выражение:

\( b_1^2 \cdot q^{p-1+m-1} = b_1^2 \cdot q^{k-1+l-1};
\)

Убираем \( b_1^2 \) с обеих сторон, так как \( b_1 \neq 0 \):

\( q^{p+m-2} = q^{k+l-2};
\)

Теперь сравним показатели степеней. Если \( q \neq 0 \), то можем приравнять показатели:

\( p + m — 2 = k + l — 2;
\)

После упрощения получаем:

\( p + m = k + l.
\)

Ответ: Мы доказали, что \( p + m = k + l \), как и требовалось.