ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 4 Номер 859 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Сумма первых трёх членов геометрической прогрессии равна 124, а их произведение равно 8000. Найдите первый член и знаменатель прогрессии.

В геометрической прогрессии:
\( S_3 = 124, \, b_1 \cdot b_2 \cdot b_3 = 8000; \)

1) Из второго равенства:
\[
b_1 \cdot (b_1 \cdot q) \cdot (b_1 \cdot q^2) = 8000;\]

\[b_1^3 \cdot q^3 = 8000, \, b_1 q = 20;\]

\[b_1 = \frac{20}{q};
\]

2) Из первого равенства:
\[
S_3 = b_1 \cdot \frac{q^3 — 1}{q — 1} = 124;\]

\[b_1 \cdot (q — 1)(q^3 + q + 1) = 124 \cdot (q — 1);\]

\[\frac{20}{q} \cdot (q^2 + q + 1) = 124;
\]

\[
20q + 20 + \frac{20}{q} = 124;
20q — 104 + \frac{20}{q} = 0;
5q^2 — 26q + 5 = 0;
\]

\[
D = 26^2 — 4 \cdot 5 \cdot 5 = 676 — 100 = 576, \text{ тогда:}\]

\[q_1 = \frac{26 — 24}{2 \cdot 5} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}, \,\]

\[q_2 = \frac{26 + 24}{2 \cdot 5} = 5;
\]

\[
a_{1,1} = \frac{20}{\frac{1}{5}} = 100, \, a_{1,2} = \frac{20}{5} = 4.
\]

Ответ:

\( a_1 = 100, \, q = \frac{1}{5}, \) или \( a_1 = 4, \, q = 5. \)

Задание:

Дана геометрическая прогрессия:

\( S_3 = 124, \, b_1 \cdot b_2 \cdot b_3 = 8000;
\)

1) Из второго равенства:

Из второго равенства \( b_1 \cdot b_2 \cdot b_3 = 8000 \) получаем следующее:

\( b_1 \cdot (b_1 \cdot q) \cdot (b_1 \cdot q^2) = 8000;
\)

Упростим это выражение:

\( b_1^3 \cdot q^3 = 8000, \quad b_1 q = 20;
\)

Теперь выразим \( b_1 \) через \( q \):

\( b_1 = \frac{20}{q};
\)

2) Из первого равенства:

Используем формулу для суммы первых трёх членов геометрической прогрессии:

\( S_3 = b_1 \cdot \frac{q^3 — 1}{q — 1} = 124;
\)

Подставляем значение для \( b_1 \):

\( \frac{20}{q} \cdot \frac{q^3 — 1}{q — 1} = 124;
\)

Умножаем обе части на \( (q — 1) \):

\( 20 \cdot (q^2 + q + 1) = 124 \cdot (q — 1);
\)

Упростим и подставим выражение для \( b_1 \):

\( \frac{20}{q} \cdot (q^2 + q + 1) = 124;
\)

Умножим обе части на \( q \), чтобы избавиться от дроби:

\( 20q + 20 + \frac{20}{q} = 124;
\)

Переносим все члены в одну сторону:

\( 20q — 104 + \frac{20}{q} = 0;
\)

Умножим на \( q \), чтобы избавиться от дроби:

\( 5q^2 — 26q + 5 = 0;
\)

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

\( D = (-26)^2 — 4 \cdot 5 \cdot 5 = 676 — 100 = 576, \quad \text{тогда:}
\)

Корни уравнения:

\( q_1 = \frac{26 — 24}{2 \cdot 5} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}, \quad q_2 = \frac{26 + 24}{2 \cdot 5} = 5;
\)

Теперь находим значения \( a_1 \) для каждого значения \( q \):

Для \( q_1 = \frac{1}{5} \): \( a_1 = \frac{20}{\frac{1}{5}} = 100;
\)

Для \( q_2 = 5 \): \( a_1 = \frac{20}{5} = 4;
\)

Ответ: \( a_1 = 100, \, q = \frac{1}{5} \), или \( a_1 = 4, \, q = 5. \)