ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 4 Номер 858 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Между числами a/b^2 и b/a^2, где a > 0, b > 0, вставьте пять чисел, которые вместе с данными числами составят геометрическую прогрессию.

В геометрической прогрессии:
\( b_1 = \frac{a}{b^2}, \, b_7 = \frac{b}{a^2}; \, a > 0, \, n > 0; \)

1) Знаменатель прогрессии:
\[
b_7 = b_1 \cdot q^6, \, q^6 = \frac{b_7}{b_1} = \frac{b^3}{a^3};\]

\[q^2 = \frac{b}{a}, \, q = \pm \sqrt{\frac{b}{a}};
\]

2) Искомые члены прогрессии:
\[
b_2 = b_1 \cdot q = \frac{a}{b^2} \cdot \left( \pm \sqrt{\frac{b}{a}} \right) = \pm \frac{\sqrt{a}}{b\sqrt{b}};
\]

\[
b_3 = b_2 \cdot q = \pm \frac{\sqrt{a}}{b\sqrt{b}} \cdot \left( \pm \sqrt{\frac{b}{a}} \right) = \frac{1}{b};
\]

\[
b_4 = b_3 \cdot q = \frac{1}{b} \cdot \left( \pm \sqrt{\frac{b}{a}} \right) = \pm \frac{1}{\sqrt{ab}};
\]

\[
b_5 = b_4 \cdot q = \pm \frac{1}{\sqrt{ab}} \cdot \left( \pm \sqrt{\frac{b}{a}} \right) = \frac{1}{a};
\]

\[
b_6 = b_5 \cdot q = \frac{1}{a} \cdot \left( \pm \sqrt{\frac{b}{a}} \right) = \pm \frac{\sqrt{b}}{a\sqrt{a}}.
\]

Ответ:
\[
\pm \frac{\sqrt{a}}{b\sqrt{b}}, \, \frac{1}{b}, \, \pm \frac{1}{\sqrt{ab}}, \, \frac{1}{a}, \, \pm \frac{\sqrt{b}}{a\sqrt{a}}.
\]

Задание:

В геометрической прогрессии:

\( b_1 = \frac{a}{b^2}, \, b_7 = \frac{b}{a^2}; \, a > 0, \, n > 0;
\)

1) Знаменатель прогрессии:

Используем формулу для \( b_7 \) в геометрической прогрессии:

\( b_7 = b_1 \cdot q^6, \quad q^6 = \frac{b_7}{b_1} = \frac{b^3}{a^3};
\)

Теперь извлекаем квадратный корень из обеих сторон для нахождения \( q^2 \):

\( q^2 = \frac{b}{a}, \quad q = \pm \sqrt{\frac{b}{a}};
\)

2) Искомые члены прогрессии:

Теперь найдем искомые члены прогрессии. Начнем с \( b_2 \):

\( b_2 = b_1 \cdot q = \frac{a}{b^2} \cdot \left( \pm \sqrt{\frac{b}{a}} \right) = \pm \frac{\sqrt{a}}{b\sqrt{b}};
\)

Теперь для \( b_3 \):

\( b_3 = b_2 \cdot q = \pm \frac{\sqrt{a}}{b\sqrt{b}} \cdot \left( \pm \sqrt{\frac{b}{a}} \right) = \frac{1}{b};
\)

Для \( b_4 \):

\( b_4 = b_3 \cdot q = \frac{1}{b} \cdot \left( \pm \sqrt{\frac{b}{a}} \right) = \pm \frac{1}{\sqrt{ab}};
\)

Для \( b_5 \):

\( b_5 = b_4 \cdot q = \pm \frac{1}{\sqrt{ab}} \cdot \left( \pm \sqrt{\frac{b}{a}} \right) = \frac{1}{a};
\)

Для \( b_6 \):

\( b_6 = b_5 \cdot q = \frac{1}{a} \cdot \left( \pm \sqrt{\frac{b}{a}} \right) = \pm \frac{\sqrt{b}}{a\sqrt{a}}.
\)

Ответ: \( \pm \frac{\sqrt{a}}{b\sqrt{b}}, \, \frac{1}{b}, \, \pm \frac{1}{\sqrt{ab}}, \, \frac{1}{a}, \, \pm \frac{\sqrt{b}}{a\sqrt{a}}. \)