ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 4 Номер 857 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Пусть (a_n) — арифметическая прогрессия, (S_n) — последовательность сумм первых n её членов. Известно, что члены последовательности (a_n) изображаются в координатной плоскости точками, принадлежащими прямой y=3x-1. Напишите уравнение кривой, которой принадлежат точки, изображающие члены последовательности (S_n).

Арифметическая прогрессия:

\( y = 3x — 1, \, a_n = 3n — 1; \)

1) Первый член и разность:
\[
a_1 = 3 — 1 = 2, \, a_2 = 6 — 1 = 5;
d = a_2 — a_1 = 5 — 2 = 3;
\]

2) Сумма первых \( n \) членов:

\[
S_n = \frac{2a_1 + d(n — 1)}{2} \cdot n = \frac{2 \cdot 2 + 3(n — 1)}{2} \cdot n;
\]

\[
S_n = \frac{4 + 3n — 3}{2} \cdot n = \frac{3n + 1}{2} \cdot n;
\]

\[
S_n = \frac{3}{2}n^2 — \frac{1}{2}n.
\]

Ответ:

\[
y = \frac{3}{2}x^2 — \frac{1}{2}x.
\]

Задание:

Дана арифметическая прогрессия:

\( y = 3x — 1, \, a_n = 3n — 1;
\)

1) Первый член и разность:

Для нахождения первого члена прогрессии \( a_1 \), подставим \( n = 1 \) в выражение для \( a_n \):

\( a_1 = 3 \cdot 1 — 1 = 2;
\)

Теперь найдем второй член \( a_2 \), подставив \( n = 2 \):

\( a_2 = 3 \cdot 2 — 1 = 5;
\)

Разность прогрессии \( d \) вычисляется как разность между вторым и первым членом:

\( d = a_2 — a_1 = 5 — 2 = 3;
\)

2) Сумма первых \( n \) членов:

Теперь вычислим сумму первых \( n \) членов арифметической прогрессии. Для этого используем формулу для суммы арифметической прогрессии:

\( S_n = \frac{2a_1 + d(n — 1)}{2} \cdot n;
\)

Подставим известные значения для \( a_1 = 2 \) и \( d = 3 \):

\( S_n = \frac{2 \cdot 2 + 3(n — 1)}{2} \cdot n;
\)

Упростим выражение:

\( S_n = \frac{4 + 3n — 3}{2} \cdot n = \frac{3n + 1}{2} \cdot n;
\)

Далее, раскрываем скобки:

\( S_n = \frac{3}{2}n^2 — \frac{1}{2}n;
\)

Ответ: \( S_n = \frac{3}{2}n^2 — \frac{1}{2}n; \)

Таким образом, сумма первых \( n \) членов арифметической прогрессии выражается как \( S_n = \frac{3}{2}n^2 — \frac{1}{2}n \), что и требовалось доказать.