ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 4 Номер 856 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

В арифметической прогрессии S_6=m, S_12=p. Найдите S_15.

Арифметическая прогрессия:
\( S_6 = m, \, S_{12} = p, \, a_1, \, d; \)

1) Из данных равенств:
\[
S_6 = \frac{2a_1 + 5d}{2} \cdot 6 = 3(2a_1 + 5d) = m;\]

\[S_{12} = \frac{2a_1 + 11d}{2} \cdot 12 = 6(2a_1 + 11d) = p;
\]

\[
S_{12} — 2S_6 = p — 2m;\]

\[6(2a_1 + 11d) — 6(2a_1 + 5d) = p — 2m;\]

\[66d — 30d = p — 2m, \, 36d = p — 2m;
\]

\[
d = \frac{p — 2m}{36}, \, a_1 = \frac{1}{2} \left( \frac{p}{6} — 11d \right);
\]

\[
a_1 = \frac{1}{2} \left( \frac{p}{6} — 11 \cdot \frac{p — 2m}{36} \right);
a_1 = \frac{1}{2} \cdot \frac{6p — 11p + 22m}{36} = \frac{22m — 5p}{72};
\]

2) Сумма пятнадцати членов:

\[
S_{15} = \frac{2a_1 + 14d}{2} \cdot 15 = 15(a_1 + 7d);
\]

\[
S_{15} = 15 \cdot \left( \frac{22m — 5p}{72} + 7 \cdot \frac{p — 2m}{36} \right);
\]

\[
S_{15} = 15 \cdot \left( \frac{22m — 5p}{72} + \frac{7p — 14m}{36} \right);
\]

\[
S_{15} = 15 \cdot \frac{22m — 5p + 14p — 28m}{72} = 15 \cdot \frac{-6m + 9p}{72};
\]

\[
S_{15} = \frac{15(-6m + 9p)}{72} = \frac{15p — 10m}{8}.
\]

Ответ:

\[
\frac{15p — 10m}{8}.
\]

Задание:

Дана арифметическая прогрессия:

\( S_6 = m, \, S_{12} = p, \, a_1, \, d;
\)

1) Из данных равенств:

Рассмотрим данные равенства для суммы первых \( 6 \) и \( 12 \) членов прогрессии:

\( S_6 = \frac{2a_1 + 5d}{2} \cdot 6 = 3(2a_1 + 5d) = m;
\)

\( S_{12} = \frac{2a_1 + 11d}{2} \cdot 12 = 6(2a_1 + 11d) = p;
\)

Теперь вычитаем \( 2S_6 \) из \( S_{12} \):

\( S_{12} — 2S_6 = p — 2m;
\)

Подставим выражения для \( S_{12} \) и \( S_6 \):

\( 6(2a_1 + 11d) — 6(2a_1 + 5d) = p — 2m;
\)

Упростим выражение:

\( 66d — 30d = p — 2m, \quad 36d = p — 2m;
\)

Таким образом, разность между суммами выражается как:

\( d = \frac{p — 2m}{36};
\)

Теперь выразим \( a_1 \) через \( p \), \( m \) и \( d \). Для этого используем одно из исходных равенств для суммы \( S_6 \):

\( S_6 = 3(2a_1 + 5d) = m;
\)

Решим для \( a_1 \):

\( 3(2a_1 + 5d) = m, \quad 2a_1 + 5d = \frac{m}{3};
\)

Выразим \( a_1 \):

\( 2a_1 = \frac{m}{3} — 5d, \quad a_1 = \frac{1}{2} \left( \frac{m}{3} — 5d \right);
\)

Теперь подставим значение \( d = \frac{p — 2m}{36} \) в выражение для \( a_1 \):

\(a_1 = \frac{1}{2} \left( \frac{m}{3} — 5 \cdot \frac{p — 2m}{36} \right);
\)

Упростим выражение для \( a_1 \):

\(a_1 = \frac{1}{2} \cdot \frac{6m — 5p + 10m}{36} = \frac{22m — 5p}{72};\)

2) Сумма первых 15 членов:

Для нахождения суммы первых 15 членов прогрессии используем формулу для суммы арифметической прогрессии:

\( S_{15} = \frac{2a_1 + 14d}{2} \cdot 15 = 15(a_1 + 7d);
\)

Подставим выражение для \( a_1 \) и \( d \):

\( S_{15} = 15 \cdot \left( \frac{22m — 5p}{72} + 7 \cdot \frac{p — 2m}{36} \right);
\)

Упростим выражение для суммы:

\( S_{15} = 15 \cdot \left( \frac{22m — 5p}{72} + \frac{7p — 14m}{36} \right);
\)

Приведем дроби к общему знаменателю:

\( S_{15} = 15 \cdot \frac{22m — 5p + 14p — 28m}{72} = 15 \cdot \frac{-6m + 9p}{72};
\)

Упростим результат:

\( S_{15} = \frac{15(-6m + 9p)}{72} = \frac{15p — 10m}{8};
\)

Ответ: \( \frac{15p — 10m}{8}. \)