ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 4 Номер 852 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Докажите, что в арифметической прогрессии

S_(n+3)-S_n=3(S_(n+2)-S(n+1)).

В арифметической прогрессии:

\[
S_{n+3} — S_n = 3(S_{n+2} — S_{n+1});
\]

1) Из левой части равенства:

\[
\frac{2a_1 + d(n + 2)}{2} \cdot (n + 3) — \frac{2a_1 + d(n — 1)}{2} \cdot n =
\]

\[
\frac{2a_1n + 6a_1 + d(n^2 + 3n + 2n + 6) — 2a_1n — d(n^2 — n)}{2} =
\]

\[
\frac{6a_1 + d(6n + 6)}{2} = 3a_1 + 3d(n + 1);
\]

2) Из правой части равенства:

\[
3 \cdot \left( \frac{2a_1 + d(n + 1)}{2} \cdot (n + 2) — \frac{2a_1 + dn}{2} \cdot (n + 1) \right) =
\]

\[
3 \cdot \frac{2a_1n + 4a_1 + d(n^2 + 2n + n + 2) — 2a_1n — 2a_1 — d(n^2 + n)}{2} =
\]

\[
3 \cdot \frac{2a_1 + d(2n + 2)}{2} =
\]

\[
\frac{6a_1 + 6d(n + 1)}{2} = 3a_1 + 3d(n + 1);
\]

Что и требовалось доказать.

Задание:

В арифметической прогрессии:

\( S_{n+3} — S_n = 3(S_{n+2} — S_{n+1});
\)

1) Из левой части равенства:

Рассмотрим левую часть равенства. Сначала используем формулу для суммы первых \( n \) членов арифметической прогрессии:

\( S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n.
\)

Тогда, для \( S_{n+3} \) и \( S_n \), получаем:

\( S_{n+3} = \frac{2a_1 + d(n+2)}{2} \cdot (n+3), \quad S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n;
\)

Теперь найдём разницу \( S_{n+3} — S_n \):

\( S_{n+3} — S_n = \frac{2a_1 + d(n+2)}{2} \cdot (n+3) — \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n;
\)

Раскроем скобки и упростим выражение:

\( = \frac{2a_1n + 6a_1 + d(n^2 + 3n + 2n + 6) — 2a_1n — d(n^2 — n)}{2};
\)

После упрощения получаем:

\( = \frac{6a_1 + d(6n + 6)}{2} = 3a_1 + 3d(n + 1);
\)

2) Из правой части равенства:

Теперь рассмотрим правую часть равенства. Для выражения \( S_{n+2} — S_{n+1} \) используем аналогичные рассуждения:

\( S_{n+2} = \frac{2a_1 + d(n+1)}{2} \cdot (n+2), \quad S_{n+1} = \frac{2a_1 + dn}{2} \cdot (n+1);
\)

Вычитаем \( S_{n+2} — S_{n+1} \):

\( S_{n+2} — S_{n+1} = \frac{2a_1 + d(n+1)}{2} \cdot (n+2) — \frac{2a_1 + dn}{2} \cdot (n+1);
\)

Раскроем скобки и упростим:

\( = \frac{2a_1n + 4a_1 + d(n^2 + 2n + n + 2) — 2a_1n — 2a_1 — d(n^2 + n)}{2};
\)

Упростим полученную формулу:

\( = \frac{2a_1 + d(2n + 2)}{2};
\)

Теперь умножим на 3, чтобы получить правую часть равенства:

\( 3(S_{n+2} — S_{n+1}) = 3 \cdot \frac{2a_1 + d(2n + 2)}{2};
\)

Получаем:

\( = \frac{6a_1 + 6d(n + 1)}{2} = 3a_1 + 3d(n + 1);
\)

Ответ: Мы доказали, что левая и правая части равенства совпадают, что и требовалось доказать.