ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 4 Номер 849 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Верно ли утверждение: последовательность (a_n) является арифметической прогрессией тогда и только тогда, когда любой её член, начиная со второго, есть среднее арифметическое равноудалённых от него членов?

В арифметической прогрессии:

\[
a_n = \frac{a_{n-k} + a_{n+k}}{2}, \quad n \geq 2;
\]

1) Если \( a_n \) — арифметическая прогрессия:

\[
a_n = \frac{a_1 + d(n-k-1) + a_1 + d(n+k-1)}{2};
\]

\[
a_n = \frac{2a_1 + d(2n-2)}{2} = a_1 + d(n-1);
\]

2) Из данной формулы:

\[
2a_n = a_{n-k} + a_{n+k};
\]

\[
a_{n+k} — a_{n-k} = 2kd, \quad d = d;
\]

Что и требовалось доказать.

Задание:

В арифметической прогрессии:

\( a_n = \frac{a_{n-k} + a_{n+k}}{2}, \quad n \geq 2;
\)

1) Если \( a_n \) — арифметическая прогрессия:

Предположим, что \( a_n \) — это арифметическая прогрессия, тогда члены прогрессии можно выразить как:

\( a_n = a_1 + d(n — 1),
\)

где \( a_1 \) — первый член прогрессии, а \( d \) — разность прогрессии. Теперь подставим это выражение в исходное уравнение:

\( a_n = \frac{a_1 + d(n-k-1) + a_1 + d(n+k-1)}{2};
\)

Упрощаем числитель:

\( a_n = \frac{2a_1 + d(2n — 2)}{2} = a_1 + d(n — 1);
\)

Мы получаем, что \( a_n = a_1 + d(n — 1) \), что является формулой для арифметической прогрессии. Это подтверждает, что \( a_n \) — арифметическая прогрессия.

2) Из данной формулы:

Теперь рассмотрим равенство:

\( 2a_n = a_{n-k} + a_{n+k};
\)

Подставим выражения для \( a_n \), \( a_{n-k} \), и \( a_{n+k} \) через первый член и разность прогрессии:

\( 2(a_1 + d(n — 1)) = (a_1 + d(n — k — 1)) + (a_1 + d(n + k — 1));
\)

Упрощаем выражение:

\( 2a_1 + 2d(n — 1) = 2a_1 + d(2n — 2k — 2);
\)

Переносим все члены в одну сторону:

\( 2d(n — 1) = d(2n — 2k — 2);
\)

Упрощаем и получаем:

\( a_{n+k} — a_{n-k} = 2kd, \quad d = d;
\)

Ответ: Мы доказали, что \( a_n = \frac{a_{n-k} + a_{n+k}}{2} \), и что разность прогрессии \( d \) остается неизменной. Это и требовалось доказать.