ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 4 Номер 846 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Докажите, что если длины сторон прямоугольного треугольника составляют арифметическую прогрессию, то радиус вписанной окружности равен разности этой прогрессии.

В арифметической прогрессии:
\[
a_1 = a, \quad a_2 = b, \quad a_3 = \sqrt{a^2 + b^2};
\]

1) Разность прогрессии:

\[
a_2 = a_1 + d, \quad b = a + d;
\]

\[
a_3 = a_2 + d = a + 2d;
\]

\[
(a + 2d)^2 = a^2 + b^2;
\]

\[
a^2 + 2ad + 4d^2 = a^2 + (a + d)^2;
\]

\[
a^2 + 4ad + 4d^2 = 2a^2 + 2ad + d^2;
\]

\[
a^2 — 2ad — 3d^2 = 0;
\]

\[
D = (2d)^2 + 4 \cdot 3d^2 = 4d^2 + 12d^2 = 16d^2, \quad \text{тогда:}
\]

\[
a_{1,1} = \frac{-2d — 4d}{2} = -2d, \quad a_{1,2} = \frac{2d + 4d}{2} = 3d;
\]

\[
a_{2,1} = -2d + d = -d, \quad a_{2,2} = 3d + 2d = 5d;
\]

\[
a_{3,1} = -2d + 2d = 0, \quad a_{3,2} = 5d + 2d = 7d;
\]

2) Радиус вписанной окружности:

\[
\frac{a_1 \cdot a_2}{a_1 + a_2 + a_3} = \frac{3d \cdot 5d}{3d + 5d + 7d} = d;
\]

Что и требовалось доказать.

Задание:

Дана арифметическая прогрессия:

\( a_1 = a, \quad a_2 = b, \quad a_3 = \sqrt{a^2 + b^2};
\)

1) Разность прогрессии:

Начнем с поиска разности прогрессии. Мы знаем, что:

\( a_2 = a_1 + d, \quad b = a + d;
\)

Таким образом, разность прогрессии \(d\) равна:

\( d = b — a.
\)

Теперь найдём третий член прогрессии \( a_3 \). Он равен:

\( a_3 = a_2 + d = a + 2d.
\)

Используем данное условие, что \( a_3 = \sqrt{a^2 + b^2} \), и подставим в это уравнение:

\( (a + 2d)^2 = a^2 + b^2.
\)

Раскроем скобки и упростим выражение:

\( a^2 + 4ad + 4d^2 = a^2 + (a + d)^2.
\)

Упростим правую часть:

\( a^2 + 4ad + 4d^2 = 2a^2 + 2ad + d^2.
\)

Переносим все члены на одну сторону:

\( a^2 + 4ad + 4d^2 — 2a^2 — 2ad — d^2 = 0;
\)

Упрощаем выражение:

\( a^2 — 2ad — 3d^2 = 0.
\)

Теперь решим это квадратное уравнение относительно \(a\) и \(d\). Для этого используем дискриминант:

\( D = (2d)^2 — 4 \cdot (-3) \cdot d^2 = 4d^2 + 12d^2 = 16d^2;
\)

Корни уравнения:

\( a_{1,1} = \frac{-2d — 4d}{2} = -2d, \quad a_{1,2} = \frac{2d + 4d}{2} = 3d;
\)

Теперь подставим эти значения в выражения для \(a_{2,1}\) и \(a_{2,2}\):

\( a_{2,1} = -2d + d = -d, \quad a_{2,2} = 3d + 2d = 5d;
\)

И для \(a_{3,1}\) и \(a_{3,2}\):

\( a_{3,1} = -2d + 2d = 0, \quad a_{3,2} = 5d + 2d = 7d;
\)

2) Радиус вписанной окружности:

Для радиуса вписанной окружности используем формулу:

\( r = \frac{a_1 \cdot a_2}{a_1 + a_2 + a_3}.
\)

Подставим найденные значения для \(a_1 = 3d\), \(a_2 = 5d\) и \(a_3 = 7d\):

\( r = \frac{3d \cdot 5d}{3d + 5d + 7d} = \frac{15d^2}{15d} = d.
\)

Ответ: Радиус вписанной окружности равен \( d \), что и требовалось доказать.