ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 4 Номер 843 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Докажите, что произведение P_n первых n членов последовательности

1-4/1, 1-4/9, 1-4/25, …, 1-4/(2n-1)^2, … равно (1+2n)/(1-2n).

Доказать равенство:

\[
\left( 1 — \frac{4}{1} \right) \left( 1 — \frac{4}{9} \right) \cdots \left( 1 — \frac{4}{(2n — 1)^2} \right) = \frac{1 + 2n}{1 — 2n};
\]

1) Если \(n = 1\), тогда:

\[
1 — \frac{4}{1} = 1 — 4 = -3;
\]

\[
\frac{1 + 2n}{1 — 2n} = \frac{1 + 2}{1 — 2} = -3;
\]

2) Если \(n = k + 1\), тогда:

\[
\left( 1 — \frac{4}{1} \right) \left( 1 — \frac{4}{9} \right) \cdots \left( 1 — \frac{4}{(2k — 1)^2} \right) \left( 1 — \frac{4}{(2k + 1)^2} \right) =
\]

\[
= \frac{1 + 2k}{1 — 2k} \cdot \frac{(2k + 1)^2 — 4}{(2k + 1)^2} = \frac{(1 + 2k)((2k + 1)^2 — 4)}{(1 — 2k)(2k + 1)^2} =
\]

\[
= \frac{(1 + 2k)((2k + 1 — 2)(2k + 1 + 2))}{(1 — 2k)(2k + 1)^2} = \frac{(1 + 2k)(2k — 1)(2k + 3)}{(1 — 2k)(2k + 1)^2};
\]

\[
= \frac{3 + 2k}{-1 — 2k} = \frac{1 + 2n}{1 — 2n}.
\]

Что и требовалось доказать.

Задание:

Доказать равенство:

\( \left( 1 — \frac{4}{1} \right) \left( 1 — \frac{4}{9} \right) \cdots \left( 1 — \frac{4}{(2n — 1)^2} \right) = \frac{1 + 2n}{1 — 2n};
\)

1) Если \( n = 1 \), тогда:

Подставим \( n = 1 \) в обе стороны равенства:

Левая часть:

\( 1 — \frac{4}{1} = 1 — 4 = -3;
\)

Правая часть:

\( \frac{1 + 2n}{1 — 2n} = \frac{1 + 2}{1 — 2} = \frac{3}{-1} = -3;
\)

Таким образом, левая и правая части равны, когда \( n = 1 \).

2) Если \( n = k + 1 \), тогда:

Теперь докажем, что равенство верно для \( n = k + 1 \). Для этого рассмотрим произведение в левой части:

\( \left( 1 — \frac{4}{1} \right) \left( 1 — \frac{4}{9} \right) \cdots \left( 1 — \frac{4}{(2k — 1)^2} \right) \left( 1 — \frac{4}{(2k + 1)^2} \right)
\)

Используем индукционное предположение, что для \( n = k \) равенство верно:

\( \frac{1 + 2k}{1 — 2k}
\)

Теперь рассмотрим произведение для \( n = k + 1 \). Умножаем обе стороны на новый множитель:

\( \frac{(2k + 1)^2 — 4}{(2k + 1)^2} = \frac{(2k + 1 — 2)(2k + 1 + 2)}{(2k + 1)^2} = \frac{(2k — 1)(2k + 3)}{(2k + 1)^2}
\)

Получаем новое выражение для произведения:

\( \frac{(1 + 2k)((2k + 1)^2 — 4)}{(1 — 2k)(2k + 1)^2} = \frac{(1 + 2k)(2k — 1)(2k + 3)}{(1 — 2k)(2k + 1)^2}
\)

Далее упрощаем числитель и знаменатель:

\( \frac{(1 + 2k)(2k — 1)(2k + 3)}{(1 — 2k)(2k + 1)^2}
\)

Теперь, если подставить \( n = k + 1 \), то получаем нужное выражение:

\( \frac{1 + 2(k+1)}{1 — 2(k+1)} = \frac{3 + 2k}{-1 — 2k} = \frac{1 + 2n}{1 — 2n}
\)

Ответ: Равенство доказано для любого \( n \). Это и требовалось доказать.