ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 4 Номер 842 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Даны последовательности (a_n) и (b_n), где a_n=2^(n+4), b_n=2n+9.

Докажите, что a_n > b_n при любом натуральном значении n.

Даны последовательности:

\[
a_n = 2^{n+4}, \quad b_n = 2n + 9;
\]

1) Если \(n = 1\), тогда:

\[
a_1 = 2^{1+4} = 2^5 = 32; \quad b_1 = 2 \cdot 1 + 9 = 11;
\]

2) Если \(n = k + 1\), тогда:

\[
a_n — b_n = 2^{k+5} — 2(k + 1) — 9 = 2 \cdot 2^{k+4} — 2k — 2 — 9 =
\]

\[
= 2 \cdot (2^{k+4} — 2k — 9) + 2k + 7 = 2(a_k — b_k) + 2k + 7 > 0, \quad a_n > b_n;
\]

Что и требовалось доказать.

Задание:

Даны последовательности:

\( a_n = 2^{n+4}, \quad b_n = 2n + 9;
\)

1) Если \( n = 1 \), тогда:

Вычислим значения \( a_1 \) и \( b_1 \):

\( a_1 = 2^{1+4} = 2^5 = 32;
\)

\( b_1 = 2 \cdot 1 + 9 = 11;
\)

2) Если \( n = k + 1 \), тогда:

Вычислим разницу между последовательностями \( a_n \) и \( b_n \):

\( a_n — b_n = 2^{k+5} — 2(k + 1) — 9;
\)

Упростим выражение:

\( a_n — b_n = 2 \cdot 2^{k+4} — 2k — 2 — 9;
\)

Преобразуем дальше:

\( a_n — b_n = 2 \cdot (2^{k+4} — 2k — 9) + 2k + 7;
\)

Таким образом, получаем выражение:

\( a_n — b_n = 2(a_k — b_k) + 2k + 7;
\)

Теперь покажем, что это выражение больше нуля:

\( 2(a_k — b_k) + 2k + 7 > 0, \quad \text{что означает: } a_n > b_n;
\)

Ответ: Мы доказали, что \( a_n > b_n \) для всех значений \(n \geq 1\).