ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 4 Номер 841 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Является ли ограниченной последовательность (c_n), если:

а) c_n=(n^2+2)/n; б) c_n=(5+(-1)^n)/n; в) c_n=2+3·(-1)^n?

Является ли ограниченной такая последовательность:

a)
\[
c_n = \frac{n^2 + 2}{n} = n + \frac{2}{n};
\]

\[
\lim_{n \to \infty} \left( n + \frac{2}{n} \right) = +\infty;
\]

Ответ: нет.

б)
\[
c_n = \frac{5 + (-1)^n}{n} = \frac{5}{n} + \frac{(-1)^n}{n};
\]

\[
\lim_{n \to \infty} \left( \frac{5}{n} + \frac{(-1)^n}{n} \right) = 0 + 0 = 0;
\]

Если \(n = 2k — 1\), тогда:

\[
c_n = \frac{5 — 1}{2k — 1} = \frac{4}{2k — 1} \leq 4;
\]

Если \(n = 2k\), тогда:

\[
c_n = \frac{5 + 1}{2k} = \frac{6}{2k} = \frac{3}{k} \leq 3;
\]

Ответ: да.

в)

\[
c_n = 2 + 3 \cdot (-1)^n;
\]

Если \(n = 2k — 1\), тогда:

\[
c_n = 2 + 3 \cdot (-1) = -1;
\]

Если \(n = 2k\), тогда:

\[
c_n = 2 + 3 \cdot 1 = 5;
\]

Ответ: да.

Задание:

a)

Последовательность задана формулой:

\( c_n = \frac{n^2 + 2}{n} = n + \frac{2}{n};
\)

Рассмотрим предел последовательности при \( n \to \infty \):

\( \lim_{n \to \infty} \left( n + \frac{2}{n} \right) = +\infty;
\)

Так как предел последовательности стремится к бесконечности, последовательность не ограничена.

Ответ: нет.

b)

Последовательность задана формулой:

\( c_n = \frac{5 + (-1)^n}{n} = \frac{5}{n} + \frac{(-1)^n}{n};
\)

Рассмотрим предел последовательности при \( n \to \infty \):

\( \lim_{n \to \infty} \left( \frac{5}{n} + \frac{(-1)^n}{n} \right) = 0 + 0 = 0;
\)

Последовательность сходится к 0, но для её анализа рассмотрим два случая: когда \(n\) нечётное и чётное.

Если \(n = 2k — 1\), тогда:

\( c_n = \frac{5 — 1}{2k — 1} = \frac{4}{2k — 1} \leq 4;
\)

Если \(n = 2k\), тогда:

\( c_n = \frac{5 + 1}{2k} = \frac{6}{2k} = \frac{3}{k} \leq 3;
\)

Таким образом, последовательность ограничена значениями от 0 до 4.

Ответ: да.

в)

Последовательность задана формулой:

\( c_n = 2 + 3 \cdot (-1)^n;
\)

Для нечётных значений \(n = 2k — 1\), тогда:

\( c_n = 2 + 3 \cdot (-1) = -1;
\)

Для чётных значений \(n = 2k\), тогда:

\( c_n = 2 + 3 \cdot 1 = 5;
\)

Таким образом, последовательность принимает значения -1 и 5, что означает, что она ограничена.

Ответ: да.