ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 4 Номер 840 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

При каких значениях параметра b последовательность (x_n) является возрастающей и при каких — убывающей, если:

а) x_n=(2n^2+bn)/n^2; б) x_n=(6n-b)/(n+4)?

Найти значения параметра \(b\):

a)
\[
x_n = \frac{2n^2 + bn}{n^2} = 2 + \frac{b}{n};
\]

Последовательность возрастает:

\[
x_{n+1} — x_n = 2 + \frac{b}{n+1} — 2 — \frac{b}{n} > 0;
\]

\[
\frac{bn — b(n+1)}{n(n+1)} > 0, \quad \frac{-b}{n(n+1)} > 0;
\]

\[
-b > 0, \quad b < 0;
\]

Ответ: возрастает при \(b < 0\);
убывает при \(b > 0\).

б)
\[
x_n = \frac{6n — b}{n+4} = 6 — \frac{b + 24}{n+4};
\]

Последовательность возрастает:

\[
x_{n+1} — x_n = 6 — \frac{b + 24}{n+5} — 6 + \frac{b + 24}{n+4} > 0;
\]

\[
\frac{(b + 24)(n+5) — (b + 24)(n+4)}{(n+4)(n+5)} > 0;
\]

\[
\frac{b + 24}{(n+4)(n+5)} > 0, \quad b + 24 > 0, \quad b > -24;
\]

Ответ: возрастает при \(b > -24\);
убывает при \(b < -24\).

Задание:

a)

Последовательность задана формулой:

\( x_n = \frac{2n^2 + bn}{n^2} = 2 + \frac{b}{n};
\)

Для того чтобы последовательность возрастала, необходимо, чтобы разница между соседними членами была положительной. Рассмотрим разницу \( x_{n+1} — x_n \):

\( x_{n+1} — x_n = 2 + \frac{b}{n+1} — 2 — \frac{b}{n} > 0;
\)

Упростим выражение:

\( \frac{b}{n+1} — \frac{b}{n} > 0;
\)

Приводим к общему знаменателю:

\( \frac{b(n — (n+1))}{n(n+1)} > 0;
\)

Получаем:

\( \frac{-b}{n(n+1)} > 0;
\)

Для того чтобы дробь была положительной, \( -b \) должно быть положительным, то есть \( b < 0 \).

Ответ: последовательность возрастает при \( b < 0 \); убивает при \( b > 0 \).

b)

Последовательность задана формулой:

\( x_n = \frac{6n — b}{n+4} = 6 — \frac{b + 24}{n+4};
\)

Для того чтобы последовательность возрастала, рассмотрим разницу \( x_{n+1} — x_n \):

\( x_{n+1} — x_n = 6 — \frac{b + 24}{n+5} — 6 + \frac{b + 24}{n+4} > 0;
\)

Упрощаем это выражение:

\( \frac{b + 24}{n+4} — \frac{b + 24}{n+5} > 0;
\)

Вынесем общий множитель \( b + 24 \):

\( \frac{(b + 24)(n + 5) — (b + 24)(n + 4)}{(n+4)(n+5)} > 0;
\)

Упростим числитель:

\( \frac{(b + 24)((n + 5) — (n + 4))}{(n+4)(n+5)} > 0;
\)

Получаем:

\( \frac{b + 24}{(n+4)(n+5)} > 0;
\)

Так как знаменатель всегда положительный (при \( n > -4 \)), неравенство будет выполнено, если \( b + 24 > 0 \), то есть \( b > -24 \).

Ответ: последовательность возрастает при \( b > -24 \); убивает при \( b < -24 \).