ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 4 Номер 839 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Может ли последовательность (a_n) быть задана формулой:

а) a_n=1/((n-2)(n-4)); б) a_n=1/(n^2+5n+4); в) a_n=1/(n^2-0,5n-5)?

Может ли последовательность быть задана данной формулой:

a)
\[
a_n = \frac{1}{(n — 2)(n — 4)};
\]

Область определения:

\[
(n — 2)(n — 4) \neq 0;
\]

\[
n \neq 2, \quad n \neq 4;
\]

Ответ: нет.

б)
\[
a_n = \frac{1}{n^2 + 5n + 4};
\]

Область определения:

\[
n^2 + 5n + 4 \neq 0;
\]

\[
D = 5^2 — 4 \cdot 4 = 25 — 16 = 9, \quad \text{тогда:}
\]

\[
n_1 = \frac{-5 — 3}{2} = -4 \quad \text{и} \quad n_2 = \frac{-5 + 3}{2} = -1;
\]

Ответ: да.

в)
\[
a_n = \frac{1}{n^2 — 0,5n — 5};
\]

Область определения:
\[
n^2 — 0,5n — 5 \neq 0;
\]

\[
2n^2 — n — 10 \neq 0;
\]

\[
D = 1^2 + 4 \cdot 2 \cdot 10 = 1 + 80 = 81, \quad \text{тогда:}
\]

\[
n_1 = \frac{-1 — 9}{2 \cdot 2} = -2,5 \quad \text{и} \quad n_2 = \frac{-1 + 9}{2 \cdot 2} = 2,5;
\]

Ответ: да.

Задание:

a)

Последовательность задана формулой:

\( a_n = \frac{1}{(n — 2)(n — 4)};
\)

Область определения последовательности — это значения \(n\), для которых знаменатель не равен нулю. Рассмотрим, когда выражение в знаменателе становится равным нулю:

\( (n — 2)(n — 4) \neq 0;
\)

Это условие выполнено, если \(n \neq 2\) и \(n \neq 4\). То есть область определения: \( n \neq 2 \) и \( n \neq 4 \).

Ответ: нет, последовательность не может быть задана данной формулой для \(n = 2\) и \(n = 4\), так как при этих значениях знаменатель обращается в ноль.

b)

Последовательность задана формулой:

\( a_n = \frac{1}{n^2 + 5n + 4};
\)

Область определения последовательности — это значения \(n\), для которых знаменатель не равен нулю. Рассмотрим, когда выражение в знаменателе становится равным нулю:

\( n^2 + 5n + 4 \neq 0;
\)

Решим квадратное уравнение:

\( D = 5^2 — 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25 — 16 = 9;
\)

Корни уравнения:

\( n_1 = \frac{-5 — 3}{2} = -4, \quad n_2 = \frac{-5 + 3}{2} = -1;
\)

Значит, область определения: \( n \neq -4 \) и \( n \neq -1 \).

Ответ: да, последовательность может быть задана данной формулой, если \( n \neq -4 \) и \( n \neq -1 \).

в)

Последовательность задана формулой:

\( a_n = \frac{1}{n^2 — 0,5n — 5};
\)

Область определения последовательности — это значения \(n\), для которых знаменатель не равен нулю. Рассмотрим, когда выражение в знаменателе становится равным нулю:

\( n^2 — 0,5n — 5 \neq 0;
\)

Умножим все на 2, чтобы избавиться от десятичной дроби:

\( 2n^2 — n — 10 \neq 0;
\)

Решим квадратное уравнение:

\( D = (-1)^2 — 4 \cdot 2 \cdot (-10) = 1 + 80 = 81;
\)

Корни уравнения:

\( n_1 = \frac{-(-1) — \sqrt{81}}{2 \cdot 2} = \frac{1 — 9}{4} = -2.5, \quad n_2 = \frac{-(-1) + \sqrt{81}}{2 \cdot 2} = \frac{1 + 9}{4} = 2.5;
\)

Таким образом, область определения: \( n \neq -2.5 \) и \( n \neq 2.5 \).

Ответ: да, последовательность может быть задана данной формулой, если \( n \neq -2.5 \) и \( n \neq 2.5 \).