ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 4 Номер 838 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

При каких значениях a неравенство верно при любом х:

а) ax^2-6x+4 > 0; б) ax^2-4(a-1)x+2a > 0?

При каких значениях \(a\):

a)
\[
ax^2 — 6x + 4 > 0;
\]

\[
D = 6^2 — 4 \cdot a \cdot 4;
\]

\[
D = 36 — 16a;
\]

\[
D = 4(9 — 4a);
\]

Верно при любом \(x\):

\[
9 — 4a < 0, \quad a > 0;
\]

\[
4a > 9, \quad a > 0;
\]

\[
a > \frac{1}{4}, \quad a > 0;
\]

Ответ: \(a \in \left(\frac{1}{4}; +\infty\right).\)

б)

\[
ax^2 — 4(a — 1)x + 2a > 0;
\]

\[
D = 4^2(a — 1)^2 — 4 \cdot a \cdot 2a;
\]

\[
D = 16(a^2 — 2a + 1) — 8a^2;
\]

\[
D = 8(a^2 — 4a + 2);
\]

Верно при любом \(x\):

\[
a^2 — 4a + 2 < 0, \quad a > 0;
\]

\[
D = 4^2 — 4 \cdot 2 = 16 — 8 = 8, \quad \text{тогда:}
\]

\[
a = \frac{4 \pm \sqrt{8}}{2} = 2 \pm \sqrt{2};
\]

\[
2 — \sqrt{2} < a < 2 + \sqrt{2}, \quad a > 0;
\]

Ответ: \(a \in (2 — \sqrt{2}; 2 + \sqrt{2}).\)

Задание:

a)

Решим неравенство:

\( ax^2 — 6x + 4 > 0;
\)

Для того чтобы решить это неравенство, найдем дискриминант соответствующего квадратного уравнения:

\( D = (-6)^2 — 4 \cdot a \cdot 4;
\)

Вычисляем дискриминант:

\( D = 36 — 16a;
\)

Дискриминант можно записать как:

\( D = 4(9 — 4a);
\)

Чтобы выражение \( ax^2 — 6x + 4 \) было больше нуля при любом значении \(x\), необходимо, чтобы дискриминант был отрицательным (иначе у уравнения есть реальные корни, и выражение может быть равно нулю в этих точках). Таким образом, для всех значений \(x\) должно выполняться условие:

\( 9 — 4a < 0, \quad a > 0;
\)

Решим это неравенство:

\( 9 — 4a < 0, \quad 4a > 9, \quad a > \frac{1}{4}.
\)

Ответ: \(a \in \left(\frac{1}{4}; +\infty\right).\)

b)

Решим неравенство:

\( ax^2 — 4(a — 1)x + 2a > 0;
\)

Найдем дискриминант для соответствующего квадратного уравнения:

\( D = (-4(a — 1))^2 — 4 \cdot a \cdot 2a;
\)

Раскрываем скобки:

\( D = 16(a^2 — 2a + 1) — 8a^2;
\)

Упростим:

\( D = 8(a^2 — 4a + 2);
\)

Для того чтобы неравенство \( ax^2 — 4(a — 1)x + 2a > 0 \) выполнялось при любом \(x\), нам нужно, чтобы дискриминант был отрицательным. Рассмотрим условие:

\( a^2 — 4a + 2 < 0, \quad a > 0;
\)

Найдем корни квадратного уравнения \( a^2 — 4a + 2 = 0 \) с помощью дискриминанта:

\( D = (-4)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 2 = 16 — 8 = 8;
\)

Корни уравнения:

\( a = \frac{4 \pm \sqrt{8}}{2} = 2 \pm \sqrt{2};
\)

Таким образом, \(a\) находится в пределах:

\( 2 — \sqrt{2} < a < 2 + \sqrt{2}, \quad a > 0;
\)

Ответ: \( a \in (2 — \sqrt{2}, 2 + \sqrt{2}) \).