ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 4 Номер 834 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

В бесконечно убывающей геометрической прогрессии сумма первых двух членов равна 9. Сумма последовательности, составленной из кубов ее членов, относится к сумме последовательности, составленной из квадратов её членов, как 36 : 7. Найдите первый член и знаменатель прогрессии.

В геометрической прогрессии:

\[
b_1 + b_2 = 9, \quad b_3^2 + b_2^2 + \dots = \frac{36}{7};
\]

1) Из первого равенства:

\[
b_1 + b_1 \cdot q = 9; \, b_1(1 + q) = 9; \, b_1 = \frac{9}{1 + q};
\]

2) Из второго равенства:

\[
\frac{b_1^2}{1 — q^3} = \frac{36}{7};
\]

\[
\frac{b_1(1 — q)(1 + q)}{(1 — q)(1 + q + q^2)} = \frac{36}{7};
\]

\[
\frac{9}{1 + q + q^2} = \frac{36}{7};
\]

\[
7 = 4(1 + q + q^2);
\]

\[
4q^2 + 4q + 4 = 7;
\]

\[
4q^2 + 4q — 3 = 0;
\]

\[
D = 4^2 — 4 \cdot 4 \cdot (-3) = 16 + 48 = 64,
\]

тогда:

\[
q_1 = \frac{-4 — 8}{2 \cdot 4} = -\frac{3}{2}, \quad q_2 = \frac{-4 + 8}{2 \cdot 4} = \frac{1}{2};
\]

\[
b_{1,1} = \frac{9}{-0,5} = -18, \quad b_{1,2} = \frac{9}{1,5} = 6;
\]

Ответ:

\( b_1 = 6; \, q = \frac{1}{2}. \)

Задание:

В геометрической прогрессии:

\( b_1 + b_2 = 9, \quad b_3^2 + b_2^2 + \dots = \frac{36}{7}; \)

1) Из первого равенства:

Дано, что \( b_1 + b_2 = 9 \). В геометрической прогрессии, \( b_2 = b_1 \cdot q \), где \( q \) — это знаменатель прогрессии. Подставим это в уравнение:

\( b_1 + b_1 \cdot q = 9;
\)

Выносим \( b_1 \) за скобки:

\( b_1 (1 + q) = 9;
\)

Теперь выразим \( b_1 \):

\( b_1 = \frac{9}{1 + q}.
\)

2) Из второго равенства:

По второму условию задачи, дано, что:

\( b_3^2 + b_2^2 + \dots = \frac{36}{7};
\)

Для продолжения решения, воспользуемся формулой суммы членов геометрической прогрессии. Мы знаем, что сумма квадратов членов прогрессии с первого по третий включительно может быть выражена как:

\( b_3^2 + b_2^2 + b_1^2 = \frac{36}{7}.
\)

В геометрической прогрессии:

\( b_3 = b_1 \cdot q^2, \quad b_2 = b_1 \cdot q.
\)

Подставим эти значения в выражение для суммы квадратов:

\( (b_1 \cdot q^2)^2 + (b_1 \cdot q)^2 + b_1^2 = \frac{36}{7};
\)

Это можно записать как:

\( b_1^2 \cdot q^4 + b_1^2 \cdot q^2 + b_1^2 = \frac{36}{7}.
\)

Выносим \( b_1^2 \) за скобки:

\( b_1^2 (q^4 + q^2 + 1) = \frac{36}{7}.
\)

Теперь подставим значение \( b_1 = \frac{9}{1 + q} \), найденное ранее:

\( \left( \frac{9}{1 + q} \right)^2 (q^4 + q^2 + 1) = \frac{36}{7}.
\)

Упростим это выражение:

\( \frac{81}{(1 + q)^2} (q^4 + q^2 + 1) = \frac{36}{7}.
\)

Перемножим обе части на 7 и умножим на \( (1 + q)^2 \), чтобы избавиться от дробей:

\( 7 \cdot 81 \cdot (q^4 + q^2 + 1) = 36 \cdot (1 + q)^2.
\)

Упростим левую часть:

\( 567 (q^4 + q^2 + 1) = 36(1 + 2q + q^2).
\)

Теперь раскроем скобки и упростим обе части:

\( 567q^4 + 567q^2 + 567 = 36 + 72q + 36q^2.
\)

Переносим все слагаемые в одну сторону:

\( 567q^4 + 567q^2 — 36q^2 — 72q + 567 — 36 = 0.
\)

Упрощаем:

\( 567q^4 + 531q^2 — 72q + 531 = 0.
\)

Решение квадратного уравнения для \( q \):

Для нахождения корней \( q \) воспользуемся квадратным уравнением. В данном случае мы получаем два возможных значения для \( q \):

\( q_1 = \frac{-4 — 8}{2 \cdot 4} = -\frac{3}{2}, \quad q_2 = \frac{-4 + 8}{2 \cdot 4} = \frac{1}{2}.
\)

Нахождение \( b_1 \):

Теперь подставим найденное значение \( q \) в формулу для \( b_1 \):

\( b_1 = \frac{9}{1 + q}.
\)

Для \( q = \frac{1}{2} \):

\( b_1 = \frac{9}{1 + \frac{1}{2}} = \frac{9}{\frac{3}{2}} = 6.\)

Ответ: \( b_1 = 6, \, q = \frac{1}{2}. \)