ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 4 Номер 833 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии (b_n) равна 3, а сумма последовательности, составленной из квадратов ее членов, равна 1,8. Найдите первый член и знаменатель прогрессии (b_n).

В геометрической прогрессии:

\[
S = 3, \, b_1^2 + b_2^2 + b_3^2 + \dots = 1,8;
\]

1) Из первого равенства:

\[
S = \frac{b_1}{1 — q} = 3, \, b_1 = 3(1 — q);
\]

2) Из второго равенства:

\[
b_1^2 + b_2^2 + \dots = \frac{b_1^2}{1 — q^2} = 1,8;
\]

\[
9(1 — q)^2 = 1,8(1 — q^2);
\]

\[
9 — 18q + 9q^2 = 1,8 — 1,8q^2;
\]

\[
10,8q^2 — 18q + 7,2 = 0;
\]

\[
54q^2 — 90q + 36 = 0;
\]

\[
3q^2 — 5q + 2 = 0;
\]

\[
D = 5^2 — 4 \cdot 3 \cdot 2 = 25 — 24 = 1,
\]

тогда:

\[
q_1 = \frac{5 — 1}{2 \cdot 3} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}, \quad q_2 = \frac{5 + 1}{2 \cdot 3} = 1;
\]

\[
b_1 = 3(1 — q) = 1 \, \text{и} \, b_{1,2} = 3 \cdot 0 = 0;
\]

Ответ:

\( b_1 = 1; \, q = \frac{2}{3} \).

Задача:

В геометрической прогрессии:

\( S = 3, \, b_1^2 + b_2^2 + b_3^2 + \dots = 1,8; \)

Шаг 1: Из первого равенства:

Нам дана сумма геометрической прогрессии \( S = 3 \), и нужно найти первый член прогрессии \( b_1 \) и знаменатель прогрессии \( q \). Мы знаем, что для геометрической прогрессии сумма всех её членов вычисляется по формуле:

\( S = \frac{b_1}{1 — q}, \) где \( b_1 \) — первый член прогрессии, а \( q \) — знаменатель прогрессии.

Подставляем значение \( S = 3 \):

\( \frac{b_1}{1 — q} = 3 \);

Теперь, чтобы выразить \( b_1 \) через \( q \), умножаем обе части на \( (1 — q) \):

\( b_1 = 3(1 — q); \)

Шаг 2: Из второго равенства:

Теперь у нас есть другая информация о геометрической прогрессии: сумма квадратов её членов равна \( 1,8 \). Для суммы квадратов членов прогрессии есть другая формула:

\( b_1^2 + b_2^2 + b_3^2 + \dots = \frac{b_1^2}{1 — q^2}. \)

Подставляем это выражение, при этом сумма равна \( 1,8 \):

\( \frac{b_1^2}{1 — q^2} = 1,8; \)

Теперь подставим выражение для \( b_1 \) из Шага 1:

\( \frac{(3(1 — q))^2}{1 — q^2} = 1,8; \)

Раскроем скобки:

\( \frac{9(1 — q)^2}{1 — q^2} = 1,8; \)

Шаг 3: Упрощаем выражение:

Теперь умножим обе части на \( 1 — q^2 \), чтобы избавиться от дроби:

\( 9(1 — q)^2 = 1,8(1 — q^2); \)

Теперь раскроем скобки:

\( 9 — 18q + 9q^2 = 1,8 — 1,8q^2; \)

Шаг 4: Преобразуем уравнение:

Переносим все члены на одну сторону:

\( 9 — 18q + 9q^2 — 1,8 + 1,8q^2 = 0; \)

Приводим подобные члены:

\( 10,8q^2 — 18q + 7,2 = 0; \)

Шаг 5: Умножаем на 10, чтобы избавиться от десятичных дробей:

\( 54q^2 — 90q + 36 = 0; \)

Теперь у нас получилось квадратное уравнение для \( q \).

Шаг 6: Решаем квадратное уравнение:

Это уравнение можно решить с помощью формулы дискриминанта. Сначала приводим уравнение к стандартному виду:

\( 3q^2 — 5q + 2 = 0; \)

Теперь находим дискриминант \( D \) для этого уравнения:

\( D = (-5)^2 — 4 \cdot 3 \cdot 2 = 25 — 24 = 1; \)

Шаг 7: Находим корни уравнения:

Используя формулу для корней квадратного уравнения:

\( q = \frac{-(-5) \pm \sqrt{D}}{2 \cdot 3} = \frac{5 \pm \sqrt{1}}{6} = \frac{5 \pm 1}{6}; \)

Получаем два корня:

\( q_1 = \frac{5 — 1}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}; \quad q_2 = \frac{5 + 1}{6} = \frac{6}{6} = 1. \)

Шаг 8: Подставляем найденное значение \( q \) в выражение для \( b_1 \):

Из Шага 1 мы знаем, что \( b_1 = 3(1 — q) \). Подставляем \( q = \frac{2}{3} \):

\( b_1 = 3(1 — \frac{2}{3}) = 3 \cdot \frac{1}{3} = 1. \)

Теперь мы нашли \( b_1 = 1 \), и \( q = \frac{2}{3} \). Это и есть ответ задачи.

Ответ: \( b_1 = 1; \, q = \frac{2}{3}. \)