ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 4 Номер 831 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

В квадрат, со стороной равной а, вписан круг, в этот круг вписан квадрат, в полученный квадрат снова вписан круг и т. д. Найдите сумму: а) периметров квадратов; б) площадей квадратов; в) длин окружностей; г) площадей кругов.

В геометрической прогрессии:
\[
a_{n+1} = \frac{a_n}{\sqrt{2}}, \, q = \frac{1}{\sqrt{2}}, \, a_1 = a;
\]

\[
r_{n+1} = \frac{r_n}{\sqrt{2}}, \, q = \frac{1}{\sqrt{2}}, \, r_1 = \frac{a}{2};
\]

а) Периметры квадратов:
\[
P_1 = 4a, \, P_2 = \frac{4a}{\sqrt{2}} = 2a\sqrt{2};
\]

\[
q = \frac{P_2}{P_1} = \frac{2a\sqrt{2}}{4a} = \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}};
\]

\[
S = \frac{P_1}{1 — q} = \frac{4a}{1 — \frac{1}{\sqrt{2}}} = \frac{4a \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} — 1};
\]

\[
S = \frac{4a\sqrt{2}(\sqrt{2} + 1)}{2 — 1} = 4a(2 + \sqrt{2});
\]

Ответ \( 4a(2 + \sqrt{2}) \).

б) Площади квадратов:
\[
S_1 = a^2, \, S_2 = \left(\frac{a}{\sqrt{2}}\right)^2 = \frac{a^2}{2};
\]

\[
q = \frac{S_2}{S_1} = \frac{\frac{a^2}{2}}{a^2} = \frac{1}{2} = 0,5;
\]

\[
S = \frac{S_1}{1 — q} = \frac{a^2}{1 — 0,5} = 2a^2;
\]

Ответ: \( 2a^2 \).

в) Длины окружностей:
\[
C_1 = \pi a, \, C_2 = \frac{\pi a}{\sqrt{2}};
\]

\[
q = \frac{C_2}{C_1} = \frac{\frac{\pi a}{\sqrt{2}}}{\pi a} = \frac{1}{\sqrt{2}};
\]

\[
S = \frac{C_1}{1 — q} = \frac{\pi a}{1 — \frac{1}{\sqrt{2}}} = \frac{\pi a \sqrt{2}}{\sqrt{2} — 1};
\]

\[
S = \frac{\pi a \sqrt{2}(\sqrt{2} + 1)}{2 — 1} = \pi a(2 + \sqrt{2});
\]

Ответ: \( \pi a(2 + \sqrt{2}) \).

г) Площади всех кругов:
\[
S_1 = \frac{\pi a^2}{4}, \, S_2 = \pi \left(\frac{a}{2\sqrt{2}}\right)^2 = \frac{\pi a^2}{8};
\]

\[
q = \frac{S_2}{S_1} = \frac{\frac{\pi a^2}{8}}{\frac{\pi a^2}{4}} = \frac{1}{2} = 0,5;
\]

\[
S = \frac{S_1}{1 — q} = \frac{\frac{\pi a^2}{4}}{0,5} = \frac{\pi a^2}{2};
\]

Ответ: \( \frac{\pi a^2}{2} \).

Задача:

Дана геометрическая прогрессия:

\( a_{n+1} = \frac{a_n}{\sqrt{2}}, \, q = \frac{1}{\sqrt{2}}, \, a_1 = a; \)

\( r_{n+1} = \frac{r_n}{\sqrt{2}}, \, q = \frac{1}{\sqrt{2}}, \, r_1 = \frac{a}{2}; \)

Шаг 1: Периметры квадратов

Периметр первого квадрата:

\( P_1 = 4a, \, P_2 = \frac{4a}{\sqrt{2}} = 2a\sqrt{2} \)

Находим знаменатель прогрессии для периметров:

\( q = \frac{P_2}{P_1} = \frac{2a\sqrt{2}}{4a} = \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}} \)

Теперь находим сумму периметров всех квадратов:

\( S = \frac{P_1}{1 — q} = \frac{4a}{1 — \frac{1}{\sqrt{2}}} = \frac{4a \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} — 1} \)

Умножаем числитель и знаменатель на \( \sqrt{2} + 1 \):

\( S = \frac{4a\sqrt{2}(\sqrt{2} + 1)}{2 — 1} = 4a(2 + \sqrt{2}) \)

Ответ: \( 4a(2 + \sqrt{2}) \)

Шаг 2: Площади квадратов

Площадь первого квадрата:

\( S_1 = a^2, \, S_2 = \left(\frac{a}{\sqrt{2}}\right)^2 = \frac{a^2}{2} \)

Находим знаменатель прогрессии для площадей:

\( q = \frac{S_2}{S_1} = \frac{\frac{a^2}{2}}{a^2} = \frac{1}{2} = 0,5 \)

Теперь находим сумму площадей всех квадратов:

\( S = \frac{S_1}{1 — q} = \frac{a^2}{1 — 0,5} = 2a^2 \)

Ответ: \( 2a^2 \)

Шаг 3: Длины окружностей

Длина окружности первого круга:

\( C_1 = \pi a, \, C_2 = \frac{\pi a}{\sqrt{2}} \)

Находим знаменатель прогрессии для длин окружностей:

\( q = \frac{C_2}{C_1} = \frac{\frac{\pi a}{\sqrt{2}}}{\pi a} = \frac{1}{\sqrt{2}} \)

Теперь находим сумму длин всех окружностей:

\( S = \frac{C_1}{1 — q} = \frac{\pi a}{1 — \frac{1}{\sqrt{2}}} = \frac{\pi a \sqrt{2}}{\sqrt{2} — 1} \)

Умножаем числитель и знаменатель на \( \sqrt{2} + 1 \):

\( S = \frac{\pi a \sqrt{2}(\sqrt{2} + 1)}{2 — 1} = \pi a(2 + \sqrt{2}) \)

Ответ: \( \pi a(2 + \sqrt{2}) \)

Шаг 4: Площади всех кругов

Площадь первого круга:

\( S_1 = \frac{\pi a^2}{4}, \, S_2 = \pi \left(\frac{a}{2\sqrt{2}}\right)^2 = \frac{\pi a^2}{8} \)

Находим знаменатель прогрессии для площадей кругов:

\( q = \frac{S_2}{S_1} = \frac{\frac{\pi a^2}{8}}{\frac{\pi a^2}{4}} = \frac{1}{2} = 0,5 \)

Теперь находим сумму площадей всех кругов:

\( S = \frac{S_1}{1 — q} = \frac{\frac{\pi a^2}{4}}{0,5} = \frac{\pi a^2}{2} \)

Ответ: \( \frac{\pi a^2}{2} \)

Итоговые ответы:

1) Сумма периметров квадратов: \( 4a(2 + \sqrt{2}) \)

2) Сумма площадей квадратов: \( 2a^2 \)

3) Сумма длин окружностей: \( \pi a(2 + \sqrt{2}) \)

4) Сумма площадей всех кругов: \( \frac{\pi a^2}{2} \)