ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 4 Номер 830 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

В равносторонний треугольник со стороной 12 см вписан треугольник, вершинами которого служат середины сторон данного треугольника. В полученный треугольник таким же способом вписан третий треугольник и т. д. Найдите сумму периметров и сумму площадей этих треугольников.

В геометрической прогрессии:

\[
P_n = 3a_n, \, S_n = \frac{a_n^2 \sqrt{3}}{4}, \, a_1 = 12 \, \text{см};
\]

1) Сторона треугольника:

\[
a_{n+1} = \frac{1}{2} a_n, \, q = \frac{1}{2} = 0,5;
\]

\[
a_2 = a_1 q = 12 \cdot 0,5 = 6;
\]

2) Сумма периметров:

\[
P_1 = 3 \cdot 12 = 36, \, P_2 = 3 \cdot 6 = 18;
\]

\[
q = \frac{P_2}{P_1} = \frac{18}{36} = \frac{1}{2} = 0,5, \, S = \frac{P_1}{1 — q};
\]

\[
S = \frac{36}{1 — 0,5} = \frac{36}{0,5} = 72;
\]

3) Сумма всех площадей:

\[
S_1 = \frac{144 \sqrt{3}}{4} = 36 \sqrt{3}, \, S_2 = \frac{36 \sqrt{3}}{4} = 9 \sqrt{3};
\]

\[
q = \frac{S_2}{S_1} = \frac{9 \sqrt{3}}{36 \sqrt{3}} = \frac{1}{4} = 0,25, \, S = \frac{S_1}{1 — q};
\]

\[
S = \frac{36 \sqrt{3}}{1 — 0,25} = \frac{36 \sqrt{3}}{0,75} = 48 \sqrt{3};
\]

Ответ: \( 72 \, \text{см}; \, 48 \sqrt{3} \, \text{см}^2. \)

Задача:

Дана геометрическая прогрессия:

\( P_n = 3a_n, \, S_n = \frac{a_n^2 \sqrt{3}}{4}, \, a_1 = 12 \, \text{см}; \)

Шаг 1: Сторона треугольника

Для стороны треугольника, которая является элементом геометрической прогрессии, мы знаем, что:

\( a_{n+1} = \frac{1}{2} a_n, \, q = \frac{1}{2} = 0,5 \)

Подставляем значение \( a_1 \):

\( a_2 = a_1 q = 12 \cdot 0,5 = 6 \)

Ответ: \( a_2 = 6 \, \text{см} \).

Шаг 2: Сумма периметров

Теперь вычислим сумму периметров для первых двух треугольников:

Периметр первого треугольника:

\( P_1 = 3 \cdot 12 = 36 \, \text{см} \)

Периметр второго треугольника:

\( P_2 = 3 \cdot 6 = 18 \, \text{см} \)

Теперь находим знаменатель прогрессии для периметров:

\( q = \frac{P_2}{P_1} = \frac{18}{36} = \frac{1}{2} = 0,5 \)

Для суммы периметров используем формулу для суммы бесконечной геометрической прогрессии:

\( S = \frac{P_1}{1 — q} \)

Подставляем значения:

\( S = \frac{36}{1 — 0,5} = \frac{36}{0,5} = 72 \, \text{см} \)

Ответ: \( S = 72 \, \text{см} \).

Шаг 3: Сумма всех площадей

Теперь вычислим сумму всех площадей. Для этого используем формулу площади для треугольника, где \( S_n = \frac{a_n^2 \sqrt{3}}{4} \):

Площадь первого треугольника:

\( S_1 = \frac{144 \sqrt{3}}{4} = 36 \sqrt{3} \, \text{см}^2 \)

Площадь второго треугольника:

\( S_2 = \frac{36 \sqrt{3}}{4} = 9 \sqrt{3} \, \text{см}^2 \)

Теперь находим знаменатель прогрессии для площадей:

\( q = \frac{S_2}{S_1} = \frac{9 \sqrt{3}}{36 \sqrt{3}} = \frac{1}{4} = 0,25 \)

Для суммы площадей используем формулу для суммы бесконечной геометрической прогрессии:

\( S = \frac{S_1}{1 — q} \)

Подставляем значения:

\( S = \frac{36 \sqrt{3}}{1 — 0,25} = \frac{36 \sqrt{3}}{0,75} = 48 \sqrt{3} \, \text{см}^2 \)

Ответ: \( S = 48 \sqrt{3} \, \text{см}^2 \).

Итоговые ответы:

1) Сумма периметров: \( 72 \, \text{см} \)

2) Сумма площадей: \( 48 \sqrt{3} \, \text{см}^2 \)