ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 4 Номер 828 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Представьте в виде обыкновенной дроби число:

а) 0,7(2); б) 0.0(3); в) 1,(08); г) 2,(15).

Представить данную дробь в виде обыкновенной дроби:

a)
\[ 0,7(2) \]

\[
S = 0,7 + 0,02 + 0,002 + \dots;
\]

\( b_1 = 0,02, \; b_2 = 0,002, \; q = 0,1 \);

\[
S = 0,7 + \frac{b_1}{1 — q} = 0,7 + \frac{0,02}{1 — 0,1} = 0,7 + \frac{0,02}{0,9} =\]

\[\frac{7}{10} + \frac{2}{90} = \frac{7}{10} + \frac{1}{45} = \frac{13}{18};
\]

Ответ: \(\frac{13}{18}\).

б)
\[ 0,0(3) \]

\[
S = 0,03 + 0,003 + 0,0003 + \dots;
\]

\( b_1 = 0,03, \; b_2 = 0,003, \; q = 0,1 \);

\[
S = \frac{b_1}{1 — q} = \frac{0,03}{1 — 0,1} = \frac{0,03}{0,9} = \frac{1}{30};
\]

Ответ: \(\frac{1}{30}\)

b) 1,(08);
\( S = 1 + 0,08 + 0,0008 + \ldots; \)

\( b_1 = 0,08, \, b_2 = 0,0008, \, q = 0,01; \)

\[
S = 1 + \frac{0,08}{1 — 0,01} = 1 + \frac{0,08}{0,99} = 1 \frac{8}{99};
\]

Ответ: \( 1 \frac{8}{99} \).

г) 2,(15);
\( S = 2 + 0,15 + 0,0015 + \ldots; \)

\( b_1 = 0,15, \, b_2 = 0,0015, \, q = 0,01; \)

\[
S = 2 + \frac{0,15}{1 — 0,01} = 2 + \frac{0,15}{0,99} = 2 \frac{5}{33};
\]

Ответ: \( 2 \frac{5}{33} \).

Нам нужно преобразовать периодические десятичные дроби в обыкновенные дроби, используя методы для суммы геометрической прогрессии.

a) \( 0,7(2) \)

Это число \( 0,7(2) \) является периодической десятичной дробью, где «2» повторяется бесконечно, т.е. \( 0,7(2) = 0,722222\ldots \).

Запишем это как сумму геометрической прогрессии:

\( 0,7(2) = 0,7 + 0,02 + 0,002 + 0,0002 + \dots \)

Здесь первый член прогрессии \( b_1 = 0,02 \), второй член \( b_2 = 0,002 \), и знаменатель прогрессии \( q = 0,1 \).

Теперь, чтобы вычислить сумму этой геометрической прогрессии, используем формулу суммы бесконечной геометрической прогрессии:

\( S = 0,7 + \frac{b_1}{1 — q} \)

Подставим данные в формулу:

\( S = 0,7 + \frac{0,02}{1 — 0,1} = 0,7 + \frac{0,02}{0,9} \)

Теперь переведем дроби с разными знаменателями в общий знаменатель:

\( S = \frac{7}{10} + \frac{2}{90} = \frac{63}{90} + \frac{2}{90} = \frac{65}{90} \)

Упрощаем дробь:

\( \frac{65}{90} = \frac{13}{18} \)

Ответ: \( \frac{13}{18} \). Это и есть обыкновенная дробь, представляющая число \( 0,7(2) \).

б) \( 0,0(3) \)

Здесь \( 0,0(3) \) — это также периодическая десятичная дробь, где «3» повторяется бесконечно, т.е. \( 0,0(3) = 0,03333\ldots \).

Запишем это как сумму геометрической прогрессии:

\( 0,0(3) = 0,03 + 0,003 + 0,0003 + \dots \)

Здесь первый член прогрессии \( b_1 = 0,03 \), второй член \( b_2 = 0,003 \), и знаменатель прогрессии \( q = 0,1 \).

Используем формулу для суммы бесконечной геометрической прогрессии:

\( S = \frac{b_1}{1 — q} \)

Подставляем данные:

\( S = \frac{0,03}{1 — 0,1} = \frac{0,03}{0,9} = \frac{1}{30} \)

Ответ: \( \frac{1}{30} \).

в) \( 1,(08) \)

Это число \( 1,(08) \) представляет собой периодическую десятичную дробь, где «08» повторяется бесконечно, т.е. \( 1,(08) = 1,080808\ldots \).

Запишем это как сумму геометрической прогрессии:

\( 1,(08) = 1 + 0,08 + 0,0008 + \dots \)

Здесь первый член прогрессии \( b_1 = 0,08 \), второй член \( b_2 = 0,0008 \), и знаменатель прогрессии \( q = 0,01 \).

Используем формулу для суммы бесконечной геометрической прогрессии:

\( S = 1 + \frac{b_1}{1 — q} \)

Подставляем значения:

\( S = 1 + \frac{0,08}{1 — 0,01} = 1 + \frac{0,08}{0,99} = 1 + \frac{8}{99} \)

Теперь, сложим целую и дробную части:

\( S = 1 \frac{8}{99} \)

Ответ: \( 1 \frac{8}{99} \).

г) \( 2,(15) \)

Это число \( 2,(15) \) представляет собой периодическую десятичную дробь, где «15» повторяется бесконечно, т.е. \( 2,(15) = 2,151515\ldots \).

Запишем это как сумму геометрической прогрессии:

\( 2,(15) = 2 + 0,15 + 0,0015 + \dots \)

Здесь первый член прогрессии \( b_1 = 0,15 \), второй член \( b_2 = 0,0015 \), и знаменатель прогрессии \( q = 0,01 \).

Используем формулу для суммы бесконечной геометрической прогрессии:

\( S = 2 + \frac{b_1}{1 — q} \)

Подставляем значения:

\( S = 2 + \frac{0,15}{1 — 0,01} = 2 + \frac{0,15}{0,99} = 2 + \frac{15}{99} = 2 \frac{5}{33} \)

Ответ: \( 2 \frac{5}{33} \).