ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 4 Номер 827 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Представьте число в виде обыкновенной дроби и сделайте проверку, выполняя деление числителя обыкновенной дроби на её знаменатель: а) 0,(6); 6) 0,(16); в) 0,2(3); г) 0,12(5).

Представить данную дробь в виде обыкновенной дроби:

a)
\[ 0,(6) \]

\[
S = 0,6 + 0,06 + 0,006 + \dots;
\]
\( b_1 = 0,6, \; b_2 = 0,06, \; q = 0,1 \);

\[
S = \frac{b_1}{1 — q} = \frac{0,6}{1 — 0,1} = \frac{0,6}{0,9} = \frac{2}{3};
\]

Ответ: \(\frac{2}{3}\)

б)
\[ 0,(16) \]
\[
S = 0,16 + 0,0016 + 0,000016 + \dots;
\]
\( b_1 = 0,16, \; b_2 = 0,0016, \; q = 0,01 \);

\[
S = \frac{b_1}{1 — q} = \frac{0,16}{1 — 0,01} = \frac{0,16}{0,99} = \frac{16}{99};
\]

Ответ: \(\frac{16}{99}\)

в)
\[ 0,2(3) \]
\[
S = 0,2 + 0,03 + 0,003 + \dots;
\]
\( b_1 = 0,03, \; b_2 = 0,003, \; q = 0,1 \);

\[
S = 0,2 + \frac{b_1}{1 — q} = 0,2 + \frac{0,03}{1 — 0,1} = 0,2 + \frac{0,03}{0,9} = \frac{1}{5} + \frac{1}{30} = \frac{7}{30};
\]

Ответ: \(\frac{7}{30}\)

г)
\[ 0,12(5) \]

\[
S = 0,12 + 0,005 + 0,0005 + \dots;
\]

\( b_1 = 0,005, \; b_2 = 0,0005, \; q = 0,1 \);

\[
S = 0,12 + \frac{b_1}{1 — q} = 0,12 + \frac{0,005}{1 — 0,1} = 0,12 + \frac{0,005}{0,9} = \frac{3}{25} + \frac{1}{900} = \frac{108}{900} + \frac{5}{900} = \frac{113}{900};
\]

Ответ: \(\frac{113}{900}\)

1. Геометрическая прогрессия:

a) \( 0,(6) \)

Это геометрическая прогрессия, где первый член равен \( b_1 = 0,6 \), а знаменатель прогрессии \( q = 0,1 \). В этой задаче нам нужно найти сумму бесконечной геометрической прогрессии.

Для нахождения суммы этой геометрической прогрессии используем стандартную формулу для суммы:

\( S = \frac{b_1}{1 — q} \)

Подставляем значения в формулу:

\( S = \frac{0,6}{1 — 0,1} = \frac{0,6}{0,9} = \frac{2}{3} \)

Ответ: \( \frac{2}{3} \). Это и есть сумма этой геометрической прогрессии.

б) \( 0,(16) \)

В этом случае, это также геометрическая прогрессия, где первый член \( b_1 = 0,16 \) и знаменатель \( q = 0,01 \).

Для нахождения суммы этой прогрессии используем ту же формулу:

\( S = \frac{b_1}{1 — q} \)

Подставляем значения для вычисления суммы:

\( S = \frac{0,16}{1 — 0,01} = \frac{0,16}{0,99} = \frac{16}{99} \)

Ответ: \( \frac{16}{99} \). Это и есть сумма данной геометрической прогрессии.

в) \( 0,2(3) \)

Здесь рассматривается комбинированная прогрессия: сначала идет число \( 0,2 \), затем идет геометрическая прогрессия с первым членом \( b_1 = 0,03 \) и знаменателем \( q = 0,1 \). Мы должны найти сумму всей комбинированной прогрессии.

Для нахождения суммы комбинированной прогрессии, сначала находим сумму геометрической прогрессии, а потом прибавляем \( 0,2 \) к результату:

\( S = 0,2 + \frac{b_1}{1 — q} \)

Для геометрической прогрессии подставляем значения:

\( S = 0,2 + \frac{0,03}{1 — 0,1} = 0,2 + \frac{0,03}{0,9} = 0,2 + \frac{1}{30} \)

Теперь сложим дроби:

\( \frac{1}{5} + \frac{1}{30} = \frac{6}{30} + \frac{1}{30} = \frac{7}{30} \)

Ответ: \( \frac{7}{30} \). Это и есть сумма комбинированной прогрессии.

г) \( 0,12(5) \)

Здесь также комбинированная прогрессия, включающая \( 0,12 \) и геометрическую прогрессию с первым членом \( b_1 = 0,005 \) и знаменателем \( q = 0,1 \). Нужно найти сумму этой комбинированной прогрессии.

Сначала находим сумму геометрической прогрессии, а затем прибавляем \( 0,12 \):

\( S = 0,12 + \frac{b_1}{1 — q} \)

Подставляем значения для геометрической прогрессии:

\( S = 0,12 + \frac{0,005}{1 — 0,1} = 0,12 + \frac{0,005}{0,9} = 0,12 + \frac{1}{900} \)

Теперь сложим дроби:

\( \frac{3}{25} + \frac{1}{900} = \frac{108}{900} + \frac{5}{900} = \frac{113}{900} \)

Ответ: \( \frac{113}{900} \). Это и есть сумма комбинированной прогрессии.