ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 4 Номер 826 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Найдите сумму, слагаемые в которой являются членами бесконечно убывающей геометрической прогрессии:

а) 1/2+1/2^2+1/2^3+…; в) 2/7-4/49+8/343-…;

б) v2-v2/2+v2/4-…; г) 3v3+v3+v3/3+… .

В геометрической прогрессии:

a)
\[ \frac{1}{2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{2^3} + \dots \]
\( b_1 = \frac{1}{2}, \; b_2 = \frac{1}{2^2}, \; q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{1}{2} \);

\[
S = \frac{b_1}{1 — q} = \frac{\frac{1}{2}}{1 — \frac{1}{2}} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}} = 1;
\]

Ответ: 1

б)
\[ \sqrt{2} — \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{4} + \dots \]
\( b_1 = \sqrt{2}, \; b_2 = -\frac{\sqrt{2}}{2}, \; q = \frac{b_2}{b_1} = -\frac{1}{2} \);

\[
S = \frac{b_1}{1 — q} = \frac{\sqrt{2}}{1 — \left(-\frac{1}{2}\right)} = \frac{\sqrt{2}}{1 + \frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{\frac{3}{2}} = \frac{2\sqrt{2}}{3};
\]

Ответ: \(\frac{2\sqrt{2}}{3}\)

в)
\[ \frac{2}{7} — \frac{4}{49} + \frac{8}{343} + \dots \]
\( b_1 = \frac{2}{7}, \; b_2 = -\frac{4}{49}, \; q = \frac{b_2}{b_1} = -\frac{2}{7} \);

\[
S = \frac{b_1}{1 — q} = \frac{\frac{2}{7}}{1 — \left(-\frac{2}{7}\right)} =\]

\[\frac{\frac{2}{7}}{1 + \frac{2}{7}} = \frac{\frac{2}{7}}{\frac{9}{7}} = \frac{2}{9};
\]

Ответ: \(\frac{2}{9}\)

г)
\[ 3\sqrt{3} + \sqrt{3} + \frac{\sqrt{3}}{3} + \dots \]

\( b_1 = 3\sqrt{3}, \; b_2 = \sqrt{3}, \; q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{1}{3} \);

\[
S = \frac{b_1}{1 — q} = \frac{3\sqrt{3}}{1 — \frac{1}{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{\frac{2}{3}} = \frac{9\sqrt{3}}{2};
\]

Ответ: \(\frac{9\sqrt{3}}{2}\).

a) \( \frac{1}{2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{2^3} + \dots \)

Это геометрическая прогрессия с первым членом \( b_1 = \frac{1}{2} \) и знаменателем \( q = \frac{1}{2} \).

Для нахождения суммы этой прогрессии, мы используем формулу суммы бесконечной геометрической прогрессии:

\( S = \frac{b_1}{1 — q} \)

Подставим значения:

\( S = \frac{\frac{1}{2}}{1 — \frac{1}{2}} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}} = 1 \)

Ответ: \( 1 \).

б) \( \sqrt{2} — \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{4} + \dots \)

Это геометрическая прогрессия с первым членом \( b_1 = \sqrt{2} \) и знаменателем \( q = -\frac{1}{2} \).

Для нахождения суммы этой прогрессии, используем ту же формулу суммы:

\( S = \frac{b_1}{1 — q} \)

Подставляем значения в формулу:

\( S = \frac{\sqrt{2}}{1 — \left(-\frac{1}{2}\right)} = \frac{\sqrt{2}}{1 + \frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{\frac{3}{2}} = \frac{2\sqrt{2}}{3} \)

Ответ: \( \frac{2\sqrt{2}}{3} \).

в) \( \frac{2}{7} — \frac{4}{49} + \frac{8}{343} + \dots \)

Это геометрическая прогрессия с первым членом \( b_1 = \frac{2}{7} \) и знаменателем \( q = -\frac{2}{7} \).

Для нахождения суммы этой прогрессии, используем формулу для суммы:

\( S = \frac{b_1}{1 — q} \)

Подставляем значения:

\( S = \frac{\frac{2}{7}}{1 — \left(-\frac{2}{7}\right)} = \frac{\frac{2}{7}}{1 + \frac{2}{7}} = \frac{\frac{2}{7}}{\frac{9}{7}} = \frac{2}{9} \)

Ответ: \( \frac{2}{9} \).

г) \( 3\sqrt{3} + \sqrt{3} + \frac{\sqrt{3}}{3} + \dots \)

Это геометрическая прогрессия с первым членом \( b_1 = 3\sqrt{3} \) и знаменателем \( q = \frac{1}{3} \).

Для нахождения суммы этой прогрессии, опять используем формулу суммы:

\( S = \frac{b_1}{1 — q} \)

Подставляем значения в формулу:

\( S = \frac{3\sqrt{3}}{1 — \frac{1}{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{\frac{2}{3}} = \frac{9\sqrt{3}}{2} \)

Ответ: \( \frac{9\sqrt{3}}{2} \).