ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 4 Номер 824 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Докажите, что при любых а, b и с уравнение

(x-a)(x-b)+(x-a)(x-c)+(x-b)(x-c)=0 имеет корни.

Имеет корни при любых \( a, b \) и \( c \):
\[
(x — a)(x — b) + (x — a)(x — c) + (x — b)(x — c) = 0;\]

\[3x^2 — (a + b)x + ab — (a + c)x + ac — (b + c)x + bc = 0;\]

\[3x^2 — 2(a + b + c)x + (ab + ac + bc) = 0;
\]

\[
D = 2^2 \cdot (a + b + c)^2 — 4(ab + ac + bc) \geq 0;\]

\[4(a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc) \geq 4(ab + ac + bc);\]

\[a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc \geq ab + ac + bc;\]

\[a^2 + b^2 + c^2 + ab + ac + bc \geq 0;
\]

\[
2a^2 + 2b^2 + 2c^2 + 2ab + 2ac + 2bc \geq 0;\]

\[(a^2 + 2ab + b^2) + (b^2 + 2bc + c^2) + (a^2 + 2ac + c^2) \geq 0;\]

\[(a + b)^2 + (b + c)^2 + (a + c)^2 \geq 0.
\]

Что и требовалось доказать.

Дано уравнение:

\( (x — a)(x — b) + (x — a)(x — c) + (x — b)(x — c) = 0 \)

Рассмотрим это выражение и раскроем скобки:

\( (x — a)(x — b) + (x — a)(x — c) + (x — b)(x — c) = 0 \)

Первое произведение:

\( (x — a)(x — b) = x^2 — (a + b)x + ab \)

Второе произведение:

\( (x — a)(x — c) = x^2 — (a + c)x + ac \)

Третье произведение:

\( (x — b)(x — c) = x^2 — (b + c)x + bc \)

Теперь сложим все три выражения:

\( x^2 — (a + b)x + ab + x^2 — (a + c)x + ac + x^2 — (b + c)x + bc = 0 \)

Приводим подобные члены:

\( 3x^2 — 2(a + b + c)x + (ab + ac + bc) = 0 \)

Теперь у нас есть квадратное уравнение. Для того, чтобы оно имело корни, его дискриминант должен быть больше или равен нулю. Рассчитаем дискриминант:

\( D = (-2(a + b + c))^2 — 4 \cdot 3 \cdot (ab + ac + bc) \geq 0 \)

Преобразуем дискриминант:

\( D = 4(a + b + c)^2 — 12(ab + ac + bc) \geq 0 \)

Раскроем квадрат:

\( D = 4(a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc) — 12(ab + ac + bc) \geq 0 \)

Собираем подобные члены:

\( D = 4a^2 + 4b^2 + 4c^2 + 8ab + 8ac + 8bc — 12ab — 12ac — 12bc \geq 0 \)

Упрощаем:

\( D = 4a^2 + 4b^2 + 4c^2 — 4ab — 4ac — 4bc \geq 0 \)

Это выражение можно записать как:

\( (a — b)^2 + (b — c)^2 + (a — c)^2 \geq 0 \)

Каждое из этих квадратов всегда больше или равно нулю, следовательно, все выражения больше или равны нулю.

Ответ: Это доказано.