ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 4 Номер 823 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Решите неравенство:

а) x^3-3x^2-x+3 > 0;

б) x^3-2x^2-16x+32 < 0.

Решить неравенство:

a)
\[
x^3 — 3x^2 — x + 3 > 0;\]
\[x^2(x — 3) — (x — 3) > 0;\]

\[(x^2 — 1)(x — 3) > 0;\]

\[(x + 1)(x — 1)(x — 3) > 0;\]

\[-1 < x < 1, \, x > 3;\]

\[\text{Ответ: } (-1; 1) \cup (3; +\infty).
\]

б)
\[
x^3 — 2x^2 — 16x + 32 < 0;\]

\[x^2(x — 2) — 16(x — 2) < 0;\]

\[(x^2 — 16)(x — 2) < 0;\]

\[(x + 4)(x — 2)(x — 4) < 0;\]

\[x < -4, \, 2 < x < 4\]

\[\text{Ответ: } (-\infty; -4) \cup (2; 4).
\]

a) \( x^3 — 3x^2 — x + 3 > 0; \)

Приведем неравенство к удобному виду:

\( x^3 — 3x^2 — x + 3 = x^2(x — 3) — (x — 3) \)

Вынесем общий множитель \( (x — 3) \):

\( (x^2 — 1)(x — 3) > 0 \)

Теперь раскроем скобки в \( (x^2 — 1) \):

\( (x + 1)(x — 1)(x — 3) > 0 \)

Для решения этого неравенства находим промежутки, на которых произведение больше нуля:

Нули множителей: \( x = -1, x = 1, x = 3 \).

Для каждого промежутка вычисляем знак выражения:

1. \( (-\infty, -1) \): все множители отрицательны, знак положительный;

2. \( (-1, 1) \): \( (x + 1) \) и \( (x — 3) \) отрицательны, знак отрицательный;

3. \( (1, 3) \): \( (x — 1) \) и \( (x — 3) \) отрицательные, знак положительный;

4. \( (3, +\infty) \): все множители положительны, знак положительный.

Таким образом, решение: \( (-1; 1) \cup (3; +\infty) \).

Ответ: \( (-1; 1) \cup (3; +\infty) \).

б) \( x^3 — 2x^2 — 16x + 32 < 0; \)

Приведем неравенство к удобному виду:

\( x^3 — 2x^2 — 16x + 32 = x^2(x — 2) — 16(x — 2) \)

Вынесем общий множитель \( (x — 2) \):

\( (x^2 — 16)(x — 2) < 0 \)

Теперь раскроем скобки в \( (x^2 — 16) \):

\( (x + 4)(x — 2)(x — 4) < 0 \)

Для решения этого неравенства находим промежутки, на которых произведение меньше нуля:

Нули множителей: \( x = -4, x = 2, x = 4 \).

Для каждого промежутка вычисляем знак выражения:

1. \( (-\infty, -4) \): все множители отрицательны, знак положительный;

2. \( (-4, 2) \): \( (x + 4) \) отрицателен, знак отрицательный;

3. \( (2, 4) \): \( (x — 2) \) и \( (x — 4) \) отрицательны, знак положительный;

4. \( (4, +\infty) \): все множители положительные, знак положительный.

Таким образом, решение: \( (-\infty; -4) \cup (2; 4) \).

Ответ: \( (-\infty; -4) \cup (2; 4) \).