ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 4 Номер 822 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Докажите, что:

а) (n > ?)lim((n-1)/v(4n^2+2))=1/2;

б) (n > ?)lim(v((n+2)(n-1))-n)=1/2.

Доказать равенство:

a)

\[
\lim_{n \to \infty} \frac{n — 1}{\sqrt{4n^2 + 2}} = \lim_{n \to \infty} \frac{1 — \frac{1}{n}}{\sqrt{4 + \frac{2}{n^2}}} = \frac{1}{\sqrt{4}} = \frac{1}{2};
\]

Что и требовалось доказать.

б)

\[
\lim_{n \to \infty} \sqrt{(n + 2)(n — 1) — n^2} = \lim_{n \to \infty} \sqrt{(n + 2)(n — 1) + n} =
\]

\[
= \lim_{n \to \infty} \sqrt{n^2 — n + 2n — 2 — n^2} = \lim_{n \to \infty} \sqrt{n — 2} =\]

\[\lim_{n \to \infty} \frac{n — 2}{\sqrt{n^2 — n + 2n — 2} + n} =
\]

\[
= \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{n — 2}{n}}{\sqrt{1 — \frac{1}{n} + \frac{2}{n} — \frac{2}{n^2}} + 1} = \frac{1}{\sqrt{1 + 1}} = \frac{1}{2}.
\]

Что и требовалось доказать.

a) \( \lim_{n \to \infty} \frac{n — 1}{\sqrt{4n^2 + 2}} = \lim_{n \to \infty} \frac{1 — \frac{1}{n}}{\sqrt{4 + \frac{2}{n^2}}} = \frac{1}{\sqrt{4}} = \frac{1}{2}; \)

Для нахождения предела, разделим числитель и знаменатель на \( n \) (высший член в числителе и знаменателе):

\( \lim_{n \to \infty} \frac{n — 1}{\sqrt{4n^2 + 2}} = \lim_{n \to \infty} \frac{1 — \frac{1}{n}}{\sqrt{4 + \frac{2}{n^2}}} \)

При \( n \to \infty \), дроби \( \frac{1}{n} \) и \( \frac{2}{n^2} \) стремятся к 0, оставляя в числителе 1, а в знаменателе \( \sqrt{4} \), то есть 2:

\( \frac{1}{\sqrt{4}} = \frac{1}{2} \)

Ответ: Предел равен \( \frac{1}{2} \).

б) \( \lim_{n \to \infty} \sqrt{(n + 2)(n — 1) — n^2} = \lim_{n \to \infty} \sqrt{(n + 2)(n — 1) + n} = \)

Рассмотрим выражение под знаком корня:

\( (n + 2)(n — 1) = n^2 — n + 2n — 2 = n^2 + n — 2 \)

Теперь подставим это в исходное выражение:

\( \sqrt{(n + 2)(n — 1) — n^2} = \sqrt{n^2 + n — 2 — n^2} = \sqrt{n — 2} \)

Для нахождения предела, разделим числитель и знаменатель на \( n \):

\( \lim_{n \to \infty} \sqrt{n — 2} = \lim_{n \to \infty} \frac{n — 2}{\sqrt{n^2 — n + 2n — 2} + n} \)

Теперь разделим числитель и знаменатель на \( n \):

\( \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{n — 2}{n}}{\sqrt{1 — \frac{1}{n} + \frac{2}{n} — \frac{2}{n^2}} + 1} \)

При \( n \to \infty \), дроби \( \frac{1}{n}, \frac{2}{n^2} \) стремятся к нулю, оставляя в числителе 1, а в знаменателе \( \sqrt{1 + 1} \), то есть \( \sqrt{2} \):

\( \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1}{2} \)

Ответ: Предел равен \( \frac{1}{2} \).