ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 4 Номер 821 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Чему равен предел:

а) (n > ?)lim(1/n+(3n+1)/(2n-1)); в) (n > ?)lim((2n-1)/(n^2+n-2)-1/(n-1));

б) (n > ?)lim((n+3)(2n-1)/(n^2-n+2)); г) (n > ?)lim(((n-1)^3+(2-n)^3)/(n^2-n+2))?

Вычислить предел:

a)
\[
\lim_{n \to \infty} \left(\frac{1}{n} + \frac{3n + 1}{2n — 1}\right) = \lim_{n \to \infty} \left(\frac{1}{n} + \frac{3 + \frac{1}{n}}{2 — \frac{1}{n}}\right) = 0 + \frac{3}{2} = 1,5;
\]

б)
\[
\lim_{n \to \infty} \frac{(n + 3)(2n — 1)}{n^2 — n + 2} = \lim_{n \to \infty} \frac{(1 + \frac{3}{n})(2 — \frac{1}{n})}{1 — \frac{1}{n} + \frac{2}{n^2}} = \frac{1 \cdot 2}{1} = 2;
\]

в)
\[
\lim_{n \to \infty} \frac{2n — 1}{n^2 — n — 1} = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2}{n} — \frac{1}{n^2}}{1 — \frac{1}{n} — \frac{1}{n^2}} = 0;
\]

г)
\[
\lim_{n \to \infty} \frac{(n — 1)^3 + (2 — n)^3}{n^2 — n + 2} = \lim_{n \to \infty} \frac{3n^2 — 9n + 7}{n^2 — n + 2} = \lim_{n \to \infty} \frac{3 — \frac{9}{n} + \frac{7}{n^2}}{1 — \frac{1}{n} + \frac{2}{n^2}} = 3.
\]

a) \( \lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{n} + \frac{3n + 1}{2n — 1} \right) = \lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{n} + \frac{3 + \frac{1}{n}}{2 — \frac{1}{n}} \right) = 0 + \frac{3}{2} = 1,5; \)

Для нахождения предела, мы разделим числитель и знаменатель второй дроби на \( n \):

\( \lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{n} + \frac{3 + \frac{1}{n}}{2 — \frac{1}{n}} \right) \)

При \( n \to \infty \), \( \frac{1}{n} \to 0 \), и дробь стремится к \( \frac{3}{2} \).

\( 0 + \frac{3}{2} = 1,5 \)

Ответ: Предел равен 1,5.

b) \( \lim_{n \to \infty} \frac{(n + 3)(2n — 1)}{n^2 — n + 2} = \lim_{n \to \infty} \frac{(1 + \frac{3}{n})(2 — \frac{1}{n})}{1 — \frac{1}{n} + \frac{2}{n^2}} = \frac{1 \cdot 2}{1} = 2; \)

Рассмотрим предел выражения:

\( \lim_{n \to \infty} \frac{(n + 3)(2n — 1)}{n^2 — n + 2} = \lim_{n \to \infty} \frac{(1 + \frac{3}{n})(2 — \frac{1}{n})}{1 — \frac{1}{n} + \frac{2}{n^2}} \)

При \( n \to \infty \), дроби, содержащие \( \frac{1}{n} \) и \( \frac{1}{n^2} \), стремятся к нулю. Остается:

\( \frac{1 \cdot 2}{1} = 2 \)

Ответ: Предел равен 2.

в) \( \lim_{n \to \infty} \frac{2n — 1}{n^2 — n — 1} = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2}{n} — \frac{1}{n^2}}{1 — \frac{1}{n} — \frac{1}{n^2}} = 0; \)

Для нахождения предела, разделим числитель и знаменатель на \( n^2 \):

\( \lim_{n \to \infty} \frac{2n — 1}{n^2 — n — 1} = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2}{n} — \frac{1}{n^2}}{1 — \frac{1}{n} — \frac{1}{n^2}} \)

При \( n \to \infty \), \( \frac{2}{n} \to 0 \), \( \frac{1}{n^2} \to 0 \), и в числителе остаётся 0, а в знаменателе 1. Таким образом, предел равен 0:

\( \frac{0}{1} = 0 \)

Ответ: Предел равен 0.

г) \( \lim_{n \to \infty} \frac{(n — 1)^3 + (2 — n)^3}{n^2 — n + 2} = \lim_{n \to \infty} \frac{3n^2 — 9n + 7}{n^2 — n + 2} = \lim_{n \to \infty} \frac{3 — \frac{9}{n} + \frac{7}{n^2}}{1 — \frac{1}{n} + \frac{2}{n^2}} = 3; \)

Для нахождения предела, разделим числитель и знаменатель на \( n^2 \):

\( \lim_{n \to \infty} \frac{(n — 1)^3 + (2 — n)^3}{n^2 — n + 2} = \lim_{n \to \infty} \frac{3n^2 — 9n + 7}{n^2 — n + 2} = \lim_{n \to \infty} \frac{3 — \frac{9}{n} + \frac{7}{n^2}}{1 — \frac{1}{n} + \frac{2}{n^2}} \)

При \( n \to \infty \), дроби, содержащие \( \frac{9}{n} \), \( \frac{7}{n^2} \), \( \frac{1}{n} \), и \( \frac{2}{n^2} \) стремятся к 0. Остаток дает:

\( \frac{3}{1} = 3 \)

Ответ: Предел равен 3.