ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 4 Номер 820 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Вычислите предел последовательности:

а) (n > ?)lim((2n-1)/(n^2-n+2)); в) (n > ?)lim(n/(3n^2+1));

б) (n > ?)lim((-n^2-3n-1)/(n^2-2n-1)); г) (n > ?)lim((n^3+3n^2-1)/(2n^3-n+3)).

Вычислить предел:

a)
\[
\lim_{n \to \infty} \frac{2n — 1}{n^2 — n + 2} = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2}{n} — \frac{1}{n^2}}{1 — \frac{1}{n} + \frac{2}{n^2}} = \frac{0}{1} = 0;
\]

б)
\[
\lim_{n \to \infty} \frac{-n^2 — 3n — 1}{n^2 — 2n — 1} = \lim_{n \to \infty} \frac{-1 — \frac{3}{n} — \frac{1}{n^2}}{1 — \frac{2}{n} — \frac{1}{n^2}} = \frac{-1}{1} = -1;
\]

в)
\[
\lim_{n \to \infty} \frac{n}{3n^2 + 1} = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{1}{n}}{3 + \frac{1}{n^2}} = \frac{0}{3} = 0;
\]

г)
\[
\lim_{n \to \infty} \frac{n^3 + 3n^2 — 1}{2n^3 — n + 3} = \lim_{n \to \infty} \frac{1 + \frac{3}{n} — \frac{1}{n^3}}{2 — \frac{1}{n^2} + \frac{3}{n^3}} = \frac{1}{2} = 0,5;
\]

Известно следующее:

a) \( \lim_{n \to \infty} \frac{2n — 1}{n^2 — n + 2} = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2}{n} — \frac{1}{n^2}}{1 — \frac{1}{n} + \frac{2}{n^2}} = \frac{0}{1} = 0; \)

Рассмотрим предел выражения при \( n \to \infty \). Разделим числитель и знаменатель на \( n^2 \) (высший член знаменателя):

\( \lim_{n \to \infty} \frac{2n — 1}{n^2 — n + 2} = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2}{n} — \frac{1}{n^2}}{1 — \frac{1}{n} + \frac{2}{n^2}} \)

При \( n \to \infty \), \( \frac{2}{n} \to 0 \), \( \frac{1}{n^2} \to 0 \), и в числителе и знаменателе остаются нули и единицы, соответственно.

\( \frac{0}{1} = 0 \)

Ответ: Предел равен 0.

б) \( \lim_{n \to \infty} \frac{-n^2 — 3n — 1}{n^2 — 2n — 1} = \lim_{n \to \infty} \frac{-1 — \frac{3}{n} — \frac{1}{n^2}}{1 — \frac{2}{n} — \frac{1}{n^2}} = \frac{-1}{1} = -1; \)

Для нахождения предела разделим числитель и знаменатель на \( n^2 \), высший член знаменателя:

\( \lim_{n \to \infty} \frac{-n^2 — 3n — 1}{n^2 — 2n — 1} = \lim_{n \to \infty} \frac{-1 — \frac{3}{n} — \frac{1}{n^2}}{1 — \frac{2}{n} — \frac{1}{n^2}} \)

При \( n \to \infty \), дроби \( \frac{3}{n}, \frac{1}{n^2}, \frac{2}{n} \) стремятся к нулю, оставляя лишь \( -1 \) в числителе и \( 1 \) в знаменателе.

\( \frac{-1}{1} = -1 \)

Ответ: Предел равен -1.

в) \( \lim_{n \to \infty} \frac{n}{3n^2 + 1} = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{1}{n}}{3 + \frac{1}{n^2}} = \frac{0}{3} = 0; \)

Разделим числитель и знаменатель на \( n^2 \), высший член знаменателя:

\( \lim_{n \to \infty} \frac{n}{3n^2 + 1} = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{1}{n}}{3 + \frac{1}{n^2}} \)

При \( n \to \infty \), \( \frac{1}{n} \to 0 \), а дробь \( \frac{1}{n^2} \) также стремится к нулю, оставляя в знаменателе 3.

\( \frac{0}{3} = 0 \)

Ответ: Предел равен 0.

г) \( \lim_{n \to \infty} \frac{n^3 + 3n^2 — 1}{2n^3 — n + 3} = \lim_{n \to \infty} \frac{1 + \frac{3}{n} — \frac{1}{n^3}}{2 — \frac{1}{n^2} + \frac{3}{n^3}} = \frac{1}{2}; \)

Для нахождения предела разделим числитель и знаменатель на \( n^3 \), высший член знаменателя:

\( \lim_{n \to \infty} \frac{n^3 + 3n^2 — 1}{2n^3 — n + 3} = \lim_{n \to \infty} \frac{1 + \frac{3}{n} — \frac{1}{n^3}}{2 — \frac{1}{n^2} + \frac{3}{n^3}} \)

При \( n \to \infty \), дроби \( \frac{3}{n}, \frac{1}{n^3}, \frac{1}{n^2} \) стремятся к нулю, оставляя в числителе 1 и в знаменателе 2.

\( \frac{1}{2} \)

Ответ: Предел равен \( \frac{1}{2} \). = 0,5;