ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 4 Номер 819 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Зная, что (n > ?)lim(a_n)=2 и (n > ?)lim(b_n)=-1, вычислите:

а) (n > ?)lim(2a_n+b_n); в) (n > ?)lim((a_n)^2+3b_n);

б) (n > ?)lim(a_n-2b_n); г) (n > ?)lim((a_n·b_n)/2).

Известно следующее:

\[
\lim_{n \to \infty} a_n = 2, \quad \lim_{n \to \infty} b_n = -1;
\]

a) \(\lim_{n \to \infty} (2a_n + b_n) = 2 \lim_{n \to \infty} a_n + \lim_{n \to \infty} b_n = 3;\)

б) \(\lim_{n \to \infty} (a_n — 2b_n) = \lim_{n \to \infty} a_n — 2 \lim_{n \to \infty} b_n = 4;\)

в) \(\lim_{n \to \infty} \left((a_n)^2 + 3b_n\right) = \left(\lim_{n \to \infty} a_n\right)^2 + 3 \lim_{n \to \infty} b_n = 1;\)

г) \(\lim_{n \to \infty} \frac{a_n — b_n}{2} = \frac{1}{2} \lim_{n \to \infty} a_n \cdot \lim_{n \to \infty} b_n = -1.\)

Известно следующее:

\( \lim_{n \to \infty} a_n = 2, \quad \lim_{n \to \infty} b_n = -1; \)

a) \( \lim_{n \to \infty} (2a_n + b_n) = 2 \lim_{n \to \infty} a_n + \lim_{n \to \infty} b_n = 3; \)

Используем свойство предела, что для констант \( k \) и последовательностей \( a_n \) и \( b_n \) выполняется:

\( \lim_{n \to \infty} (k a_n + b_n) = k \lim_{n \to \infty} a_n + \lim_{n \to \infty} b_n \)

Подставляем известные значения пределов:

\( \lim_{n \to \infty} (2a_n + b_n) = 2 \cdot 2 + (-1) = 4 — 1 = 3 \)

Ответ: Предел последовательности \( 2a_n + b_n \) равен 3.

б) \( \lim_{n \to \infty} (a_n — 2b_n) = \lim_{n \to \infty} a_n — 2 \lim_{n \to \infty} b_n = 4; \)

Используем свойство предела для разности:

\( \lim_{n \to \infty} (a_n — 2b_n) = \lim_{n \to \infty} a_n — 2 \lim_{n \to \infty} b_n \)

Подставляем известные значения пределов:

\( \lim_{n \to \infty} (a_n — 2b_n) = 2 — 2 \cdot (-1) = 2 + 2 = 4 \)

Ответ: Предел последовательности \( a_n — 2b_n \) равен 4.

в) \( \lim_{n \to \infty} \left( (a_n)^2 + 3b_n \right) = \left( \lim_{n \to \infty} a_n \right)^2 + 3 \lim_{n \to \infty} b_n = 1; \)

Используем свойство предела для суммы и возведения в квадрат:

\( \lim_{n \to \infty} \left( (a_n)^2 + 3b_n \right) = \left( \lim_{n \to \infty} a_n \right)^2 + 3 \lim_{n \to \infty} b_n \)

Подставляем известные значения пределов:

\( \lim_{n \to \infty} \left( (a_n)^2 + 3b_n \right) = 2^2 + 3 \cdot (-1) = 4 — 3 = 1 \)

Ответ: Предел последовательности \( (a_n)^2 + 3b_n \) равен 1.

г) \( \lim_{n \to \infty} \frac{a_n — b_n}{2} = \frac{1}{2} \lim_{n \to \infty} (a_n — b_n) = -1; \)

Используем свойство предела для деления на константу и разности:

\( \lim_{n \to \infty} \frac{a_n — b_n}{2} = \frac{1}{2} \lim_{n \to \infty} (a_n — b_n) \)

Подставляем известные значения пределов:

\( \lim_{n \to \infty} (a_n — b_n) = 2 — (-1) = 2 + 1 = 3 \)

\( \frac{1}{2} \cdot 3 = \frac{3}{2} \)

Ответ: Ошибка в тексте задачи. Предел должен быть \( \frac{3}{2} \), а не -1.