ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 4 Номер 817 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Известно, что каждый член сходящейся последовательности является отрицательным числом. Может ли пределом этой последовательности быть:

а) положительное число; б) число 0?

Дана последовательность:

\[
a_n < 0 \ \text{при всех} \ n \in \mathbb{N};
\]

a) Если \(\lim_{n \to \infty} a_n > 0\), тогда:

\[
a_n — b > -\varepsilon, \ a_n > b — \varepsilon;
a_n > 0 \ \text{при} \ b > \varepsilon > 0;
\]

Ответ нет.

б) Если \(a_n = -\frac{1}{n}\), тогда:

\[
\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} \left(-\frac{1}{n}\right) = 0;
\]

Ответ: да.

Дана последовательность:

\( a_n < 0 \ \text{при всех} \ n \in \mathbb{N}; \)

a) Если \(\lim_{n \to \infty} a_n > 0\), тогда:

Рассмотрим неравенства, если предполагается, что предел последовательности \( a_n \) больше нуля:

Из неравенства \( a_n — b > -\varepsilon \) можно выразить \( a_n > b — \varepsilon \), где \( b \) и \( \varepsilon \) — положительные числа.

Однако, поскольку для всех \( n \) члены последовательности \( a_n \) отрицательны, то \( a_n \) не может быть больше нуля при \( b > \varepsilon > 0 \), и это приводит к противоречию с условием задачи.

Ответ: Нет, это невозможно, так как последовательность \( a_n \) всегда отрицательна.

b) Если \( a_n = -\frac{1}{n} \), тогда:

Рассмотрим последовательность \( a_n = -\frac{1}{n} \), где \( n \) — натуральное число. Это последовательность убывающих отрицательных чисел, стремящихся к нулю при \( n \to \infty \).

Для нахождения предела, вычислим:

\( \lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} \left( -\frac{1}{n} \right) = 0; \)

Предел последовательности \( a_n \) равен 0, так как \( \frac{1}{n} \) стремится к нулю при \( n \to \infty \).

Ответ: Да, предел последовательности \( a_n = -\frac{1}{n} \) равен 0.