ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 4 Номер 814 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Докажите, что если (x_n) — последовательность десятичных дробей, которые получаются, если в бесконечной периодической десятичной дроби 0,(3) оставлять одну, две, три и т. д. цифры после запятой, то (n > ?)lim(x_n)=1/3.

Дана последовательность:
\[
0,3; \ 0,33; \ 0,333; \ 0,3333; \ \dots;
\]

1) В геометрической прогрессии:

\[
b_1 = 0,3, \ b_2 = 0,03, \ q = \frac{b_2}{b_1} = 0,1;
\]

2) Предел суммы этой прогрессии:

\[
\lim_{n \to \infty} S_n = \lim_{n \to \infty} \frac{b_1 (1 — q^n)}{1 — q};
\]

\[
\lim_{n \to \infty} 0,(3) = \frac{b_1}{1 — q} = \frac{0,3}{1 — 0,1} = \frac{0,3}{0,9} = \frac{1}{3};
\]

Что и требовалось доказать.

Дана последовательность:

\( 0,3; \ 0,33; \ 0,333; \ 0,3333; \ \dots; \)

1) В геометрической прогрессии:

Определим, что последовательность является геометрической прогрессией, где первый член последовательности \( b_1 = 0,3 \), второй член \( b_2 = 0,33 \), и знаменатель прогрессии \( q \) определяется как:

\( q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{0,33}{0,3} = 0,1 \)

2) Предел суммы этой прогрессии:

Для нахождения предела суммы геометрической прогрессии используем формулу суммы бесконечной геометрической прогрессии:

\( S_n = \frac{b_1 (1 — q^n)}{1 — q} \)

Теперь вычислим предел суммы \( S_n \) при \( n \to \infty \):

\( \lim_{n \to \infty} S_n = \lim_{n \to \infty} \frac{b_1 (1 — q^n)}{1 — q} \)

Так как \( q = 0,1 \), то \( q^n \to 0 \) при \( n \to \infty \). Поэтому предел суммы становится:

\( \lim_{n \to \infty} S_n = \frac{b_1}{1 — q} = \frac{0,3}{1 — 0,1} = \frac{0,3}{0,9} = \frac{1}{3} \)

Ответ: Предел суммы прогрессии равен \( \frac{1}{3} \).