ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 4 Номер 813 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Имеет ли предел последовательность и если имеет, то чему он равен:

а) 1, 1/2, 1/4, …, 1/2^(n-1), …; г) -1, 1, -1, 1, …, (-1)^n, …;

б) 1, 3/2, 5/3, …, (2n-1)/n, …; д) -1/2, 2/3, -3/4, …, (-1)^n n/(n+1), …;

в) 1/3, 3/2, 5/2, …, (2n-1)/2, …; е) 1, 1/(1·2), 1/(1·2·3), …, 1//(1·2·3·…·n), …?

К какому числу сходится эта последовательность:

a)
\[
1; \frac{1}{2}; \frac{1}{4}; \dots; \frac{1}{2n-1}; \dots;
\]

\[
\lim_{n \to \infty} \frac{1}{2n-1} = \lim_{n \to \infty} \frac{2}{2n} = 0;
\]

Ответ: 0.

б)

\[
1; \frac{3}{2}; \frac{5}{3}; \dots; \frac{2n-1}{n}; \dots;
\]

\[
\lim_{n \to \infty} \frac{2n-1}{n} = \lim_{n \to \infty} \left( 2 — \frac{1}{n} \right) = 2;
\]

Ответ: 2.

в)

\[
1; \frac{3}{2}; \frac{5}{2}; \dots; \frac{2n-1}{2}; \dots;
\]

\[
\lim_{n \to \infty} \frac{2n-1}{2} = \text{не существует};
\]

Ответ: нет.

г)

\[
-1; 1; -1; 1; \dots; (-1)^n; \dots;
\]

\[
\lim_{n \to \infty} (-1)^n = \text{не существует};
\]

Ответ: нет.

д)
\[
-\frac{1}{2}; \frac{2}{3}; -\frac{3}{4}; \dots; \frac{(-1)^n n}{n+1}; \dots;
\]

\[
\lim_{n \to \infty} \frac{(-1)^n n}{n+1} = \lim_{n \to \infty} \left( (-1)^n \cdot \frac{n}{n+1} \right) =\]

\[\lim_{n \to \infty} (-1)^n \cdot \frac{1}{1 + \frac{1}{n}} = \lim_{n \to \infty} (-1)^n;
\]

\[
\lim_{n \to \infty} (-1)^n = \text{не существует};
\]

Ответ: нет.

е)

\[
1; \frac{1}{1 \cdot 2}; \frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3}; \dots; \frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \dots \cdot n}; \dots;
\]

\[
\lim_{n \to \infty} \frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \dots \cdot n} = 0;
\]

Ответ 0.

a) Последовательность: \( 1; \frac{1}{2}; \frac{1}{4}; \dots; \frac{1}{2n-1}; \dots; \)

Шаг 1: Рассмотрим общий член последовательности \( a_n = \frac{1}{2n — 1} \).

Шаг 2: Находим предел этой последовательности при \( n \to \infty \):

\( \lim_{n \to \infty} \frac{1}{2n — 1} = \lim_{n \to \infty} \frac{2}{2n} = 0; \)

Ответ: Предел последовательности равен 0.

б) Последовательность: \( 1; \frac{3}{2}; \frac{5}{3}; \dots; \frac{2n-1}{n}; \dots; \)

Шаг 1: Рассмотрим общий член последовательности \( a_n = \frac{2n — 1}{n} \).

Шаг 2: Находим предел этой последовательности при \( n \to \infty \):

\( \lim_{n \to \infty} \frac{2n — 1}{n} = \lim_{n \to \infty} \left( 2 — \frac{1}{n} \right) = 2; \)

Ответ: Предел последовательности равен 2.

в) Последовательность: \( 1; \frac{3}{2}; \frac{5}{2}; \dots; \frac{2n-1}{2}; \dots; \)

Шаг 1: Рассмотрим общий член последовательности \( a_n = \frac{2n — 1}{2} \).

Шаг 2: Находим предел этой последовательности при \( n \to \infty \):

\( \lim_{n \to \infty} \frac{2n — 1}{2} = \infty; \)

Поскольку последовательность растет бесконечно, её предел не существует.

Ответ: Последовательность не имеет предела.

г) Последовательность: \( -1; 1; -1; 1; \dots; (-1)^n; \dots; \)

Шаг 1: Рассмотрим общий член последовательности \( a_n = (-1)^n \).

Шаг 2: Находим предел этой последовательности при \( n \to \infty \):

\( \lim_{n \to \infty} (-1)^n \)

Так как последовательность колеблется между -1 и 1, её предел не существует.

Ответ: Последовательность не имеет предела.

д) Последовательность: \( -\frac{1}{2}; \frac{2}{3}; -\frac{3}{4}; \dots; \frac{(-1)^n n}{n+1}; \dots; \)

Шаг 1: Рассмотрим общий член последовательности \( a_n = \frac{(-1)^n n}{n+1} \).

Шаг 2: Находим предел этой последовательности при \( n \to \infty \):

\( \lim_{n \to \infty} \frac{(-1)^n n}{n+1} = \lim_{n \to \infty} \left( (-1)^n \cdot \frac{n}{n+1} \right) \)

Когда \( n \to \infty \), \( \frac{n}{n+1} \to 1 \), но \( (-1)^n \) продолжает колебаться между -1 и 1, поэтому предел не существует.

Ответ: Последовательность не имеет предела.

е) Последовательность: \( 1; \frac{1}{1 \cdot 2}; \frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3}; \dots; \frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \dots \cdot n}; \dots; \)

Шаг 1: Рассмотрим общий член последовательности \( a_n = \frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \dots \cdot n} = \frac{1}{n!} \).

Шаг 2: Находим предел этой последовательности при \( n \to \infty \):

\( \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n!} = 0; \)

Поскольку факториал растет очень быстро, последовательность стремится к 0.

Ответ: Предел последовательности равен 0.