ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 4 Номер 811 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Докажите, что предел последовательности равен 1:

3/2, 2/3, 5/4, 4/5, 7/6, …, 1-(-1)^n/(n+1).

Дана последовательность:

\[
3; \frac{2}{3}; 5; \frac{4}{5}; 7; \frac{6}{7}; \dots; 1 — \frac{(-1)^n}{n+1};
\]

1) Если \(n = 2k\), тогда:

\[
\lim_{n \to \infty} \left(1 — \frac{(-1)^n}{n+1}\right) = \lim_{k \to \infty} \left(1 — \frac{1}{2k+1}\right) = 1;
\]

2) Если \(n = 2k — 1\), тогда:

\[
\lim_{n \to \infty} \left(1 — \frac{(-1)^n}{n+1}\right) = \lim_{k \to \infty} \left(1 + \frac{1}{2k}\right) = 1;
\]

Что и требовалось доказать.

Дана последовательность:

\( 3; \frac{2}{3}; 5; \frac{4}{5}; 7; \frac{6}{7}; \dots; 1 — \frac{(-1)^n}{n+1}; \)

1) Если \( n = 2k \), тогда:

Рассмотрим выражение для последовательности при \( n = 2k \):

\( 1 — \frac{(-1)^n}{n+1} = 1 — \frac{1}{2k+1} \)

Теперь находим предел этого выражения при \( k \to \infty \):

\( \lim_{k \to \infty} \left( 1 — \frac{1}{2k+1} \right) = 1 — 0 = 1 \)

Ответ: Предел при \( n = 2k \) равен 1.

2) Если \( n = 2k — 1 \), тогда:

Рассмотрим выражение для последовательности при \( n = 2k — 1 \):

\( 1 — \frac{(-1)^n}{n+1} = 1 + \frac{1}{2k} \)

Теперь находим предел этого выражения при \( k \to \infty \):

\( \lim_{k \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{2k} \right) = 1 + 0 = 1 \)

Ответ: Предел при \( n = 2k — 1 \) также равен 1.

Что и требовалось доказать.