ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 4 Номер 810 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Является ли сходящейся последовательность:

а) 3, 6, 9, …, 3n, …; в) 1/2, -1/2, 1/3, -1/3, …, 1/n, -1/n, …;

б) 1/3, 1/6, 1/9, …, 1/(3n), …; г) 2, 2, 2, …, 2, …?

Является ли сходящейся такая последовательность:

a) \(3; 6; 9; \dots; 3n; \dots;\)

\[
\lim_{n \to \infty} 3n \text{ — не существует;}
\]

Ответ: нет.

б)

\[
\frac{1}{3}; \frac{1}{6}; \frac{1}{9}; \dots; \frac{1}{3n}; \dots;
\]

\[
\lim_{n \to \infty} \frac{1}{3n} = \frac{1}{3} \cdot \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0;
\]

Ответ: да.

в)

\[
\frac{1}{2} — \frac{1}{2}; \frac{1}{3} — \frac{1}{3}; \dots; \frac{1}{n} — \frac{1}{n}; \dots;
\]

\[
\lim_{n \to \infty} \left(-\frac{1}{n}\right) = -\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = -1 \cdot 0 = 0;
\]

Ответ: да.

г) \(2; 2; 2; \dots;\)

\[
\lim_{n \to \infty} 2 = 2;
\]

Ответ: да.

a) Последовательность: \( 3; 6; 9; \dots; 3n; \dots; \)

Для определения, является ли последовательность сходящейся, рассмотрим её общий член:

\( a_n = 3n \)

Для нахождения предела последовательности при \( n \to \infty \), вычислим:

\( \lim_{n \to \infty} 3n = \infty \);

Так как предел стремится к бесконечности, эта последовательность не имеет конечного предела.

Ответ: Нет, последовательность не является сходящейся.

b) Последовательность: \( \frac{1}{3}; \frac{1}{6}; \frac{1}{9}; \dots; \frac{1}{3n}; \dots; \)

Общий член последовательности: \( a_n = \frac{1}{3n} \).

Найдем предел последовательности:

\( \lim_{n \to \infty} \frac{1}{3n} = \frac{1}{3} \cdot \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = \frac{1}{3} \cdot 0 = 0; \)

Так как предел существует и равен 0, последовательность сходится.

Ответ: Да, последовательность является сходящейся.

в) Последовательность: \( \frac{1}{2} — \frac{1}{2}; \frac{1}{3} — \frac{1}{3}; \dots; \frac{1}{n} — \frac{1}{n}; \dots; \)

Общий член последовательности: \( a_n = \frac{1}{n} — \frac{1}{n} = 0 \).

Для всех \( n \) члены последовательности равны нулю:

\( a_n = 0 \);

Так как все члены последовательности равны нулю, то предел последовательности:

\( \lim_{n \to \infty} 0 = 0 \);

Следовательно, последовательность сходится к нулю.

Ответ: Да, последовательность является сходящейся.

г) Последовательность: \( 2; 2; 2; \dots; \)

Общий член последовательности: \( a_n = 2 \).

Так как все члены последовательности одинаковы, то предел последовательности:

\( \lim_{n \to \infty} 2 = 2; \)

Предел существует и равен 2, следовательно, последовательность сходится.

Ответ: Да, последовательность является сходящейся.