ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 4 Номер 809 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Вычислите первые шесть членов последовательности (a_n), заданной формулой a_n=(2n+1)/n, и изобразите их на координатной прямой. Какое предположение о пределе последовательности (a_n) можно сделать? Проведите доказательство.

Дана последовательность:
\[
a_n = \frac{2n + 1}{n} = 2 + \frac{1}{n};
\]

1) Значения членов:
\[
a_1 = 2 + \frac{1}{1} = 3;
\]

\[
a_2 = 2 + \frac{1}{2} = 2 \frac{1}{2};
\]

\[
a_3 = 2 + \frac{1}{3} = 2 \frac{1}{3};
\]

\[
a_4 = 2 + \frac{1}{4} = 2 \frac{1}{4};
\]

\[
a_5 = 2 + \frac{1}{5} = 2 \frac{1}{5};
\]

\[
a_6 = 2 + \frac{1}{6} = 2 \frac{1}{6};
\]

2) На координатной прямой:

3) Предел последовательности:

\[
\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} \left(2 + \frac{1}{n}\right) = 2 + 0 = 2;
\]

Ответ: \(2.\)

Задана последовательность:

\( a_n = \frac{2n + 1}{n} = 2 + \frac{1}{n} \);

1) Значения членов последовательности:

Мы будем подставлять различные значения \( n \) в формулу для \( a_n \), чтобы найти значения первых членов последовательности.

Для \( n = 1 \):

\( a_1 = 2 + \frac{1}{1} = 3; \)

При \( n = 1 \), подставляем в формулу и получаем \( a_1 = 3 \).

Для \( n = 2 \):

\( a_2 = 2 + \frac{1}{2} = 2 \frac{1}{2}; \)

При \( n = 2 \), подставляем в формулу и получаем \( a_2 = 2,5 \), что эквивалентно \( 2 \frac{1}{2} \).

Для \( n = 3 \):

\( a_3 = 2 + \frac{1}{3} = 2 \frac{1}{3}; \)

При \( n = 3 \), подставляем в формулу и получаем \( a_3 = 2,3333 \), что эквивалентно \( 2 \frac{1}{3} \).

Для \( n = 4 \):

\( a_4 = 2 + \frac{1}{4} = 2 \frac{1}{4}; \)

При \( n = 4 \), подставляем в формулу и получаем \( a_4 = 2,25 \), что эквивалентно \( 2 \frac{1}{4} \).

Для \( n = 5 \):

\( a_5 = 2 + \frac{1}{5} = 2 \frac{1}{5}; \)

При \( n = 5 \), подставляем в формулу и получаем \( a_5 = 2,2 \), что эквивалентно \( 2 \frac{1}{5} \).

Для \( n = 6 \):

\( a_6 = 2 + \frac{1}{6} = 2 \frac{1}{6}; \)

При \( n = 6 \), подставляем в формулу и получаем \( a_6 = 2,1667 \), что эквивалентно \( 2 \frac{1}{6} \).

2) На координатной прямой:

Рассмотрим, как последовательность будет располагаться на координатной прямой.

Мы видим, что при увеличении \( n \), члены последовательности \( a_n = 2 + \frac{1}{n} \) всё более приближаются к числу 2, но никогда не достигают его. Таким образом, на координатной прямой точки, соответствующие членам последовательности, будут располагаться на интервале между 2 и 3. С каждым увеличением \( n \) точки будут всё ближе к числу 2.

3) Предел последовательности:

Для нахождения предела последовательности \( a_n \), рассмотрим выражение для \( a_n \):

\( a_n = 2 + \frac{1}{n} \);

Мы видим, что при \( n \to \infty \), дробь \( \frac{1}{n} \) стремится к 0. Поэтому:

\( \lim_{n \to \infty} a_n = 2 + \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 2 + 0 = 2 \);

Таким образом, предел последовательности \( a_n \) при \( n \to \infty \) равен 2.

Ответ: Предел последовательности \( a_n \) равен \( 2 \).