ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 4 Номер 808 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Дана последовательность (x_n), где x_n=(3n-1)/n. Вычислите x_1, x_2, x_3, x_4. К какому числу стремится последовательность? Проведите доказательство.

Дана последовательность:
\[
x_n = \frac{3n — 1}{n} = 3 — \frac{1}{n};
\]

1) Значения членов:

\[
x_1 = 3 — 1 = 2;
\]

\[
x_2 = 3 — \frac{1}{2} = 2 \frac{1}{2};
\]

\[
x_3 = 3 — \frac{1}{3} = 2 \frac{2}{3};
\]

\[
x_4 = 3 — \frac{1}{4} = 2 \frac{3}{4};
\]

\[
x_5 = 3 — \frac{1}{5} = 2 \frac{4}{5};
\]

\[
x_{100} = 3 — \frac{1}{100} = 2,99;
\]

\[
x_{1000} = 3 — \frac{1}{1000} = 2,999;
\]

2) Предел последовательности:

\[
\lim_{n \to \infty} x_n = \lim_{n \to \infty} \left(3 — \frac{1}{n}\right) = 3 — 0 = 3;
\]

Ответ: \(3.\)

Дана последовательность:

\( x_n = \frac{3n — 1}{n} = 3 — \frac{1}{n} \);

1) Значения членов последовательности:

Для \( n = 1 \):

\( x_1 = 3 — 1 = 2; \)

Для \( n = 2 \):

\( x_2 = 3 — \frac{1}{2} = 2 \frac{1}{2}; \)

Для \( n = 3 \):

\( x_3 = 3 — \frac{1}{3} = 2 \frac{2}{3}; \)

Для \( n = 4 \):

\( x_4 = 3 — \frac{1}{4} = 2 \frac{3}{4}; \)

Для \( n = 5 \):

\( x_5 = 3 — \frac{1}{5} = 2 \frac{4}{5}; \)

Для \( n = 100 \):

\( x_{100} = 3 — \frac{1}{100} = 2,99; \)

Для \( n = 1000 \):

\( x_{1000} = 3 — \frac{1}{1000} = 2,999; \)

2) Предел последовательности:

Для нахождения предела последовательности рассмотрим:

\( \lim_{n \to \infty} x_n = \lim_{n \to \infty} \left(3 — \frac{1}{n}\right) \)

Так как \( \frac{1}{n} \) стремится к 0 при \( n \to \infty \), получаем:

\( \lim_{n \to \infty} x_n = 3 — 0 = 3; \)

Ответ: \( 3 \).