ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 4 Номер 800 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

В геометрической прогрессии, все члены которой положительны, сумма первого и второго членов равна 48, а сумма третьего и четвёртого членов равна 12. Найдите значение n, при котором S_n=63.

Дана геометрическая прогрессия:

\( b_1 + b_2 = 48, \, b_3 + b_4 = 12, \, S_n = 63; \)

1) Из первого равенства:
\[
b_1 + b_1 \cdot q = 48;
\]

\[
b_1 \cdot (1 + q) = 48;
\]

\[
b_1 = \frac{48}{1 + q};
\]

2) Из второго равенства:

\[
b_1 \cdot q^2 + b_1 \cdot q^3 = 12;
\]

\[
b_1 \cdot q^2 \cdot (1 + q) = 12;
\]

\[
q^2 \cdot \frac{48}{1 + q} \cdot (1 + q) = 12, \, q > 0;
\]

\[
q^2 = \frac{12}{48} = 0,25, \, q = 0,5;
\]

\[
b_1 = \frac{48}{1 + 0,5} = 32;
\]

3) Из третьего равенства:

\[
S_n = \frac{b_1 \cdot (1 — q^n)}{1 — q} = 63;
\]

\[
\frac{32 \cdot (1 — 0,5^n)}{1 — 0,5} = 63;
\]

\[
64 \cdot (1 — 0,5^n) = 63;
\]

\[
64 — 64 \cdot 0,5^n = 63;
\]

\[
64 \cdot 0,5^n = 1;
\]

\[
0,5^n = \frac{1}{64};
\]

\[
\left(\frac{1}{2}\right)^n = \frac{1}{64}, \, n = 6;
\]

Ответ: \( n = 6. \)

Дана геометрическая прогрессия:

\( b_1 + b_2 = 48, \, b_3 + b_4 = 12, \, S_n = 63 \);

Шаг 1: Из первого равенства \( b_1 + b_2 = 48 \):

Используем формулу для второго члена прогрессии \( b_2 = b_1 \cdot q \), и подставляем в уравнение:

\( b_1 + b_1 \cdot q = 48 \)

Выносим \( b_1 \) за скобки:

\( b_1 \cdot (1 + q) = 48 \)

Решаем для \( b_1 \):

\( b_1 = \frac{48}{1 + q} \)

Шаг 2: Из второго равенства \( b_3 + b_4 = 12 \):

Используем формулы для \( b_3 \) и \( b_4 \): \( b_3 = b_1 \cdot q^2 \) и \( b_4 = b_1 \cdot q^3 \), подставляем в уравнение:

\( b_1 \cdot q^2 + b_1 \cdot q^3 = 12 \)

Выносим \( b_1 \cdot q^2 \) за скобки:

\( b_1 \cdot q^2 \cdot (1 + q) = 12 \)

Теперь подставим выражение для \( b_1 \):

\( q^2 \cdot \frac{48}{1 + q} \cdot (1 + q) = 12 \)

Сокращаем \( (1 + q) \) в числителе и знаменателе:

\( q^2 \cdot \frac{48}{1 + q} \cdot (1 + q) = 12 \), и получаем:

\( q^2 = \frac{12}{48} = 0,25, \, q = 0,5 \)

Шаг 3: Теперь находим \( b_1 \):

\( b_1 = \frac{48}{1 + 0,5} = 32 \)

Шаг 4: Из третьего равенства \( S_n = 63 \):

Используем формулу для суммы \( S_n \) геометрической прогрессии:

\( S_n = \frac{b_1 \cdot (1 — q^n)}{1 — q} = 63 \)

Подставляем известные значения \( b_1 = 32 \) и \( q = 0,5 \):

\( \frac{32 \cdot (1 — 0,5^n)}{1 — 0,5} = 63 \)

Умножаем обе части на 2:

\( 64 \cdot (1 — 0,5^n) = 63 \)

Упрощаем:

\( 64 — 64 \cdot 0,5^n = 63 \)

Переносим \( 64 \) на правую сторону:

\( 64 \cdot 0,5^n = 1 \)

Решаем для \( n \):

\( 0,5^n = \frac{1}{64} \)

Преобразуем:

\( \left( \frac{1}{2} \right)^n = \frac{1}{64}, \, n = 6 \)

Ответ: \( n = 6 \).