ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 4 Номер 799 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Найдите сумму:

а) 1+a+a^2+…+a^(n-1);

б) (a+1/a)+(a^2+1/a^2)+(a^3+1/a^3)+…(a^n+1/a^n).

В геометрической прогрессии:

a)
\[
S = 1 + a + a^2 + \ldots + a^{n-1};
\]

\[
b_1 = 1, \, b_2 = a, \, q = \frac{b_2}{b_1} = a;
\]

\[
S = S_n = \frac{b_1 (q^n — 1)}{q — 1} = \frac{a^n — 1}{a — 1};
\]

b)

\[
S = \left(a + \frac{1}{a}\right) + \left(a^2 + \frac{1}{a^2}\right) + \ldots + \left(a^n + \frac{1}{a^n}\right);
\]

\[
S = \left(a + a^2 + \ldots + a^n\right) + \left(\frac{1}{a} + \frac{1}{a^2} + \ldots + \frac{1}{a^n}\right);
\]

\[
b_1 = a, \, b_2 = a^2, \, q = \frac{b_2}{b_1} = a;
\]

\[
S_{1n} = \frac{b_1 (q^n — 1)}{q — 1} = \frac{a(a^n — 1)}{a — 1} = \frac{a^{n+1} — a}{a — 1};
\]

\[
c_1 = \frac{1}{a}, \, c_2 = \frac{1}{a^2}, \, q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{a^2}{a} = a;
\]

\[
S_{2n} = \frac{b_1 (q^n — 1)}{q — 1} = \frac{\frac{1}{a} \left(a^n — 1\right)}{a — 1} =\]

\[\frac{\frac{1}{a} \cdot \left(a^n — 1\right)}{a — 1} = \frac{a^{-1} \cdot (a^n — 1)}{a — 1};
\]

\[
S = S_{1n} + S_{2n} = \frac{a^{n+1} — a + 1 — a^{-n}}{a — 1};
\]

\[
S = \frac{a^{2n+1} — a^{n+1} + a^n — 1}{a^{n+1} — a^n};
\]

\[
S = \frac{a^{n+1} \cdot (a^n — 1) + a^n — 1}{a \cdot (a — 1)};
\]

\[
S = \frac{(a^{n+1} + 1)(a^n — 1)}{a^n(a — 1)}.
\]

a) Рассмотрим геометрическую прогрессию:

\( S = 1 + a + a^2 + \ldots + a^{n-1} \);

Дано:

\( b_1 = 1, \, b_2 = a, \, q = \frac{b_2}{b_1} = a \);

Используем формулу для суммы геометрической прогрессии:

\( S = S_n = \frac{b_1 (q^n — 1)}{q — 1} = \frac{a^n — 1}{a — 1} \)

Ответ: \( S = \frac{a^n — 1}{a — 1} \).

б) Рассмотрим геометрическую прогрессию:

\( S = \left(a + \frac{1}{a}\right) + \left(a^2 + \frac{1}{a^2}\right) + \ldots + \left(a^n + \frac{1}{a^n}\right) \);

Разделим сумму на две части:

\( S = \left(a + a^2 + \ldots + a^n\right) + \left(\frac{1}{a} + \frac{1}{a^2} + \ldots + \frac{1}{a^n}\right) \)

Первая часть прогрессии:

\( b_1 = a, \, b_2 = a^2, \, q = \frac{b_2}{b_1} = a \);

Используем формулу для суммы геометрической прогрессии для первой части:

\( S_{1n} = \frac{b_1 (q^n — 1)}{q — 1} = \frac{a(a^n — 1)}{a — 1} = \frac{a^{n+1} — a}{a — 1} \)

Вторая часть прогрессии:

\( c_1 = \frac{1}{a}, \, c_2 = \frac{1}{a^2}, \, q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{a^2}{a} = a \);

Используем формулу для суммы геометрической прогрессии для второй части:

\( S_{2n} = \frac{b_1 (q^n — 1)}{q — 1} = \frac{\frac{1}{a} (a^n — 1)}{a — 1} = \frac{a^{-1} \cdot (a^n — 1)}{a — 1} \)

Теперь сложим суммы обеих прогрессий:

\( S = S_{1n} + S_{2n} = \frac{a^{n+1} — a + 1 — a^{-n}}{a — 1} \)

Упрощаем выражение для суммы:

\( S = \frac{a^{2n+1} — a^{n+1} + a^n — 1}{a^{n+1} — a^n} \)

Далее продолжаем упрощение и получаем итоговую формулу:

\( S = \frac{a^{n+1} \cdot (a^n — 1) + a^n — 1}{a \cdot (a — 1)} \)

И окончательное выражение для суммы:

\( S = \frac{(a^{n+1} + 1)(a^n — 1)}{a^n(a — 1)} \)

Ответ: \( S = \frac{(a^{n+1} + 1)(a^n — 1)}{a^n(a — 1)} \).