ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 4 Номер 796 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

В геометрической прогрессии (a_n) найдите a_n, a_1 и q, если:

а) {a_4-a_2=0,6, a_5-a_3=1,2, S_n=12,7};

б) {a_1+a_3=5,2, a_2+a_4=1,04, S_n=6,24}.

В геометрической прогрессии:

а)
\[
a_4 — a_2 = 0,6; \, a_5 — a_3 = 1,2; \, S_n = 12,7.
\]

Из первого равенства:
\[
a_1 \cdot q^3 — a_1 \cdot q = 0,6; \, a_1 \cdot q \cdot (q^2 — 1) = 0,6;
\]

\[
a_1 = \frac{0,6}{q \cdot (q^2 — 1)}.
\]

Из второго равенства:

\[
a_1 \cdot q^4 — a_1 \cdot q^2 = 1,2; \, a_1 \cdot q^2 \cdot (q^2 — 1) = 1,2;
\]

\[
0,6q = 1,2, \, q = 2;
\]

\[
a_1 = \frac{0,6}{2 \cdot (4 — 1)} = 0,1.
\]

Из третьего равенства:

\[
S_n = \frac{q \cdot a_n — a_1}{q — 1} = 12,7;
\]

\[
2 \cdot a_n — 0,1 = 12,7; \, 2a_n = 12,8; \, a_n = 6,4.
\]

Ответ: \( a_n = 6,4; \, a_1 = 0,1; \, q = 2. \)

б)
\[
a_1 + a_3 = 5,2; \, a_2 + a_4 = 1,04; \, S_n = 6,24.
\]

Из первого равенства:
\[
a_1 + a_1 \cdot q^2 = 5,2; \, a_1 \cdot (1 + q^2) = 5,2;
\]

\[
a_1 = \frac{5,2}{1 + q^2}.
\]

Из второго равенства:
\[
a_1 \cdot q + a_1 \cdot q^3 = 1,04; \, a_1 \cdot q \cdot (1 + q^2) = 1,04;
\]

\[
5,2q = 1,04, \, q = 0,2;
\]

\[
a_1 = \frac{5,2}{1 + 0,04} = 5.
\]

Из третьего равенства:

\[
S_n = \frac{q \cdot a_n — a_1}{q — 1} = 6,24;
\]

\[
0,2 \cdot a_n — 5 = 6,24; \, 0,2a_n = 11,24; \, a_n = \frac{11,24}{0,2} = 0,04.
\]

Ответ: \( a_n = 0,04; \, a_1 = 5; \, q = 0,2. \)

а) Рассмотрим геометрическую прогрессию:

\( a_4 — a_2 = 0,6; \, a_5 — a_3 = 1,2; \, S_n = 12,7. \)

Шаг 1: Из первого равенства \( a_4 — a_2 = 0,6 \):

Мы знаем, что \( a_4 = a_1 \cdot q^3 \) и \( a_2 = a_1 \cdot q \), поэтому подставляем в уравнение:

\( a_1 \cdot q^3 — a_1 \cdot q = 0,6; \, a_1 \cdot q \cdot (q^2 — 1) = 0,6; \)

Из этого находим:

\( a_1 = \frac{0,6}{q \cdot (q^2 — 1)} \)

Шаг 2: Из второго равенства \( a_5 — a_3 = 1,2 \):

Мы знаем, что \( a_5 = a_1 \cdot q^4 \) и \( a_3 = a_1 \cdot q^2 \), подставляем в уравнение:

\( a_1 \cdot q^4 — a_1 \cdot q^2 = 1,2; \, a_1 \cdot q^2 \cdot (q^2 — 1) = 1,2 \)

Теперь решаем для \( q \):

\( 0,6q = 1,2, \, q = 2 \)

Шаг 3: Теперь находим значение \( a_1 \):

\( a_1 = \frac{0,6}{2 \cdot (4 — 1)} = 0,1 \)

Шаг 4: Теперь из третьего равенства для суммы \( S_n \):

\( S_n = \frac{q \cdot a_n — a_1}{q — 1} = 12,7 \)

Подставляем значения \( q = 2 \) и \( a_1 = 0,1 \):

\( 2 \cdot a_n — 0,1 = 12,7; \, 2a_n = 12,8; \, a_n = 6,4 \)

Ответ: \( a_n = 6,4; \, a_1 = 0,1; \, q = 2 \).

б) Рассмотрим геометрическую прогрессию:

\( a_1 + a_3 = 5,2; \, a_2 + a_4 = 1,04; \, S_n = 6,24. \)

Шаг 1: Из первого равенства \( a_1 + a_3 = 5,2 \):

Мы знаем, что \( a_1 + a_1 \cdot q^2 = 5,2 \), и можно выразить \( a_1 \):

\( a_1 \cdot (1 + q^2) = 5,2; \, a_1 = \frac{5,2}{1 + q^2} \)

Шаг 2: Из второго равенства \( a_2 + a_4 = 1,04 \):

Мы знаем, что \( a_2 + a_4 = a_1 \cdot q + a_1 \cdot q^3 = 1,04 \), подставляем и упрощаем:

\( a_1 \cdot q \cdot (1 + q^2) = 1,04 \)

Решаем для \( q \):

\( 5,2q = 1,04, \, q = 0,2 \)

Шаг 3: Теперь находим значение \( a_1 \):

\( a_1 = \frac{5,2}{1 + 0,04} = 5 \)

Шаг 4: Теперь из третьего равенства для суммы \( S_n \):

\( S_n = \frac{q \cdot a_n — a_1}{q — 1} = 6,24 \)

Подставляем значения \( q = 0,2 \) и \( a_1 = 5 \):

\( 0,2 \cdot a_n — 5 = 6,24; \, 0,2a_n = 11,24; \, a_n = \frac{11,24}{0,2} = 0,04 \)

Ответ: \( a_n = 0,04; \, a_1 = 5; \, q = 0,2 \).