ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 4 Номер 795 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Найдите сумму первых шести членов последовательности (c_n), если:

а) c_n=(0,5)^n; б) c_n=-1,5·2^n; в) c_n=3^n+1.

В геометрической прогрессии:

a) \( c_n = (0,5)^n; \)

\[
q = \frac{c_{n+1}}{c_n} = \frac{(0,5)^{n+1}}{(0,5)^n} = 0,5;
\]

\[
c_1 = 0,5, \, c_6 = (0,5)^6 = \frac{1}{2^6};
\]

\[
S_6 = \frac{q \cdot c_6 — c_1}{q — 1} = \frac{0,5 \cdot 0,5^6 — 0,5}{0,5 — 1};
\]

\[
S_6 = \frac{\frac{1}{2^6} — 1}{1 — 2} = 1 — \frac{1}{64} = \frac{63}{64};
\]

Ответ \( \frac{63}{64}. \)

б) \( c_n = -1,5 \cdot 2^n; \)

\[
q = \frac{c_{n+1}}{c_n} = \frac{-1,5 \cdot 2^{n+1}}{-1,5 \cdot 2^n} = 2;
\]

\[
c_1 = -3, \, c_6 = -1,5 \cdot 64 = -96;
\]

\[
S_6 = \frac{q \cdot c_6 — c_1}{q — 1} = \frac{2 \cdot (-96) + 3}{2 — 1};
\]

\[
S_6 = -192 + 3 = -189;
\]

Ответ: \( -189. \)

в) \( c_n = 3^n + 1, \, d_n = 3^n; \)

\[
q = \frac{d_{n+1}}{d_n} = \frac{3^{n+1}}{3^n} = 3;
\]

\[
d_1 = 3^1 = 3, \, d_6 = 3^6 = 729;
\]

\[
S_6 = \frac{q \cdot d_6 — d_1}{q — 1} = \frac{3 \cdot 729 — 3}{3 — 1};
\]

\[
S_6 = \frac{2187 — 3}{2} + 6 = 1098;
\]

Ответ: \( 1098. \)

a) Рассмотрим геометрическую прогрессию: \( c_n = (0,5)^n \).

Найдем коэффициент прогрессии \( q \):

\( q = \frac{c_{n+1}}{c_n} = \frac{(0,5)^{n+1}}{(0,5)^n} = 0,5 \)

Теперь найдем \( c_6 \):

\( c_1 = 0,5, \, c_6 = (0,5)^6 = \frac{1}{2^6} \)

Теперь используем формулу для суммы первых \( n \) членов геометрической прогрессии:

\( S_6 = \frac{q \cdot c_6 — c_1}{q — 1} = \frac{0,5 \cdot 0,5^6 — 0,5}{0,5 — 1} \)

Вычисляем сумму:

\( S_6 = \frac{\frac{1}{2^6} — 1}{1 — 2} = 1 — \frac{1}{64} = \frac{63}{64} \)

Ответ: \( \frac{63}{64} \)

б) Рассмотрим геометрическую прогрессию: \( c_n = -1,5 \cdot 2^n \).

Найдем коэффициент прогрессии \( q \):

\( q = \frac{c_{n+1}}{c_n} = \frac{-1,5 \cdot 2^{n+1}}{-1,5 \cdot 2^n} = 2 \)

Теперь найдем \( c_6 \):

\( c_1 = -3, \, c_6 = -1,5 \cdot 64 = -96 \)

Теперь используем формулу для суммы первых \( n \) членов геометрической прогрессии:

\( S_6 = \frac{q \cdot c_6 — c_1}{q — 1} = \frac{2 \cdot (-96) + 3}{2 — 1} \)

Вычисляем сумму:

\( S_6 = -192 + 3 = -189 \)

Ответ: \( -189 \)

в) Рассмотрим геометрическую прогрессию: \( c_n = 3^n + 1, \, d_n = 3^n \).

Найдем коэффициент прогрессии для последовательности \( d_n \):

\( q = \frac{d_{n+1}}{d_n} = \frac{3^{n+1}}{3^n} = 3 \)

Теперь найдем \( d_6 \):

\( d_1 = 3^1 = 3, \, d_6 = 3^6 = 729 \)

Теперь используем формулу для суммы первых \( n \) членов геометрической прогрессии для \( d_n \):

\( S_6 = \frac{q \cdot d_6 — d_1}{q — 1} = \frac{3 \cdot 729 — 3}{3 — 1} \)

Вычисляем сумму:

\( S_6 = \frac{2187 — 3}{2} + 6 = 1098 \)

Ответ: \( 1098 \)