ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 4 Номер 793 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

В геометрической прогрессии (b_n) найдите:

а) n и b_n, если b_1=0,5, q=2, S_n=31,5;

б) n и q, если b_1=9, b_n=1/9, S_n=13 4/9;

в) q и b_3, если b_1=6,2, S_3=80,6.

В геометрической прогрессии:

a)
\( b_1 = 0,5, \, q = 2, \, S_n = 31,5; \)

\[
S_n = \frac{q \cdot b_n — b_1}{q — 1} = \frac{2b_n — 0,5}{2 — 1} = 31,5;
\]

\[
2b_n — 0,5 = 31,5, \, 2b_n = 32, \, b_n = 16;
\]

\[
b_n = b_1 \cdot q^{n-1} = 0,5 \cdot 2^{n-1} = 16; \, 2^{n-1} = 32, \, n — 1 = 5, \, n = 6;
\]

Ответ: \( n = 6; \, b_n = 16. \)

б)
\( b_1 = 9, \, b_n = \frac{1}{9}, \, S_n = 13 \frac{4}{9}; \)
\[
S_n = \frac{q \cdot b_n — b_1}{q — 1} = \frac{q \cdot \frac{1}{9} — 9}{q — 1} = 13 \frac{4}{9};
\]

\[
q = \frac{81}{121}, \, q — 81 = 121q — 121;
\]

\[
120q = 40, \, 3q = 1, \, q = \frac{1}{3};
\]

\[
b_n = b_1 \cdot q^{n-1} = 9 \cdot \left( \frac{1}{3} \right)^{n-1} =\]

\[\frac{1}{9}; \, \left( \frac{1}{3} \right)^{n-1} = \frac{1}{81}, \, n — 1 = 4, \, n = 5;
\]

Ответ: \( q = \frac{1}{3}; \, n = 5. \)

в)
\( b_1 = 6,2, \, S_3 = 80,6; \)

\[
S_3 = \frac{b_1 (q^3 — 1)}{q — 1} = \frac{6,2 (q^3 — 1)}{q — 1} = 80,6;
\]

\[
q^3 — 1 = 13q — 13, \, q^3 — 13q + 12 = 0;
\]

Решение уравнения:
\[
(q — 1)(q^2 + q — 12) = 0;
\]

\[
D = 1^2 + 4 \cdot 12 = 1 + 48 = 49, \text{ тогда:}
\]

\[
q_1 = -1 — 7 \, \text{и} \, q_2 = -1 + 7, \, q_1 = -4, \, q_2 = 3;
\]

\[
b_{3,1} = b_1 \cdot q_1^2 = 6,2 \cdot (-4)^2 = 6,2 \cdot 16 = 99,2;
\]

\[
b_{3,2} = b_1 \cdot q_2^2 = 6,2 \cdot 3^2 = 6,2 \cdot 9 = 55,8;
\]

Ответ: \( q = -4; \, b_3 = 99,2 \, \text{или} \, q = 3; \, b_3 = 55,8. \)

а) Рассмотрим геометрическую прогрессию: \( b_1 = 0,5, \, q = 2, \, S_n = 31,5 \).

Используем формулу для суммы геометрической прогрессии:

\( S_n = \frac{q \cdot b_n — b_1}{q — 1} \)

Подставляем значения в формулу:

\( S_n = \frac{2b_n — 0,5}{2 — 1} = 31,5 \)

Упростим уравнение:

\( 2b_n — 0,5 = 31,5 \)

Решаем для \( b_n \):

\( 2b_n = 32, \, b_n = 16 \)

Теперь используем формулу для нахождения \( b_n \) через \( b_1 \) и \( q \):

\( b_n = b_1 \cdot q^{n-1} = 0,5 \cdot 2^{n-1} = 16 \)

Решаем для \( n \):

\( 2^{n-1} = 32, \, n — 1 = 5, \, n = 6 \)

Ответ: \( n = 6, \, b_n = 16 \).

б) Рассмотрим геометрическую прогрессию: \( b_1 = 9, \, b_n = \frac{1}{9}, \, S_n = 13 \frac{4}{9} \).

Используем формулу для суммы геометрической прогрессии:

\( S_n = \frac{q \cdot b_n — b_1}{q — 1} \)

Подставляем значения в формулу:

\( S_n = \frac{q \cdot \frac{1}{9} — 9}{q — 1} = 13 \frac{4}{9} \)

Решаем уравнение для \( q \):

\( q = \frac{81}{121}, \, q — 81 = 121q — 121 \)

Упрощаем уравнение:

\( 120q = 40, \, 3q = 1, \, q = \frac{1}{3} \)

Теперь используем формулу для нахождения \( b_n \):

\( b_n = b_1 \cdot q^{n-1} = 9 \cdot \left( \frac{1}{3} \right)^{n-1} = \frac{1}{9} \)

Решаем для \( n \):

\( \left( \frac{1}{3} \right)^{n-1} = \frac{1}{81}, \, n — 1 = 4, \, n = 5 \)

Ответ: \( q = \frac{1}{3}, \, n = 5 \).

в) Рассмотрим геометрическую прогрессию: \( b_1 = 6,2, \, S_3 = 80,6 \).

Используем формулу для суммы первых трех членов:

\( S_3 = \frac{b_1 (q^3 — 1)}{q — 1} = \frac{6,2 (q^3 — 1)}{q — 1} = 80,6 \)

Решаем уравнение для \( q \):

\( q^3 — 1 = 13q — 13, \, q^3 — 13q + 12 = 0 \)

Решаем кубическое уравнение:

\( (q — 1)(q^2 + q — 12) = 0 \)

Решаем для \( q \):

\( D = 1^2 + 4 \cdot 12 = 1 + 48 = 49 \), тогда:

\( q_1 = -1 — 7, \, q_2 = -1 + 7, \, q_1 = -4, \, q_2 = 3 \)

Находим \( b_3 \) для \( q_1 \) и \( q_2 \):

\( b_{3,1} = b_1 \cdot q_1^2 = 6,2 \cdot (-4)^2 = 6,2 \cdot 16 = 99,2 \)

\( b_{3,2} = b_1 \cdot q_2^2 = 6,2 \cdot 3^2 = 6,2 \cdot 9 = 55,8 \)

Ответ: \( q = -4, \, b_3 = 99,2 \, \text{или} \, q = 3, \, b_3 = 55,8 \).