ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 4 Номер 792 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Докажите, что при любом n?N сумма:

а) 1+3+3^2+…+3^(4n-2)+3^(4n-1) кратна 40;

б) 1+5+5^2+…+5^(3n-2)+5^(3n-1) кратна 31.

В геометрической прогрессии:

a) \( 1 + 3 + 3^2 + \ldots + 3^{4n-2} + 3^{4n-1}; \)

\( b_1 = 1, \, b_2 = 3, \, q = \frac{b_2}{b_1} = 3; \)

\[
S_{4n} = \frac{q \cdot b_{4n} — b_1}{q — 1} = \frac{3 \cdot 3^{4n-1} — 1}{3 — 1} = \frac{3^{4n} — 1}{2};
\]

\[
S_{4n} = \frac{(81 — 1)(81^{n-1} + 81^{n-2} + \ldots + 1)}{2};
\]

\[
S_{4n} = 40(81^{n-1} + 81^{n-2} + \ldots + 1) : 40;
\]

Что и требовалось доказать.

б) \( 1 + 5 + 5^2 + \ldots + 5^{3n-2} + 5^{3n-1}; \)

\( b_1 = 1, \, b_2 = 5, \, q = \frac{b_2}{b_1} = 5; \)

\[
S_{3n} = \frac{q \cdot b_{3n} — b_1}{q — 1} = \frac{5 \cdot 5^{3n-1} — 1}{5 — 1} = \frac{5^{3n} — 1}{4};
\]

\[
S_{3n} = \frac{(125 — 1)(125^{n-1} + 125^{n-2} + \ldots + 1)}{4};
\]

\[
S_{3n} = 31(125^{n-1} + 125^{n-2} + \ldots + 1) : 31;
\]

Что и требовалось доказать.

а) Рассмотрим геометрическую прогрессию: \( 1 + 3 + 3^2 + \ldots + 3^{4n-2} + 3^{4n-1} \).

Заданы:

\( b_1 = 1 \),

\( b_2 = 3 \),

\( q = \frac{b_2}{b_1} = 3 \).

Для нахождения суммы \( S_{4n} \) используем формулу для суммы геометрической прогрессии:

\( S_{4n} = \frac{q \cdot b_{4n} — b_1}{q — 1} \)

Подставляем значения в формулу:

\( S_{4n} = \frac{3 \cdot 3^{4n-1} — 1}{3 — 1} = \frac{3^{4n} — 1}{2} \)

Теперь выражаем сумму в более удобном виде:

\( S_{4n} = \frac{(81 — 1)(81^{n-1} + 81^{n-2} + \ldots + 1)}{2} \)

Наконец, получаем итоговое выражение:

\( S_{4n} = 40(81^{n-1} + 81^{n-2} + \ldots + 1) \)

Ответ: Это и требовалось доказать.

б) Рассмотрим геометрическую прогрессию: \( 1 + 5 + 5^2 + \ldots + 5^{3n-2} + 5^{3n-1} \).

Заданы:

\( b_1 = 1 \),

\( b_2 = 5 \),

\( q = \frac{b_2}{b_1} = 5 \).

Для нахождения суммы \( S_{3n} \) используем формулу для суммы геометрической прогрессии:

\( S_{3n} = \frac{q \cdot b_{3n} — b_1}{q — 1} \)

Подставляем значения в формулу:

\( S_{3n} = \frac{5 \cdot 5^{3n-1} — 1}{5 — 1} = \frac{5^{3n} — 1}{4} \)

Теперь выражаем сумму в более удобном виде:

\( S_{3n} = \frac{(125 — 1)(125^{n-1} + 125^{n-2} + \ldots + 1)}{4} \)

Наконец, получаем итоговое выражение:

\( S_{3n} = 31(125^{n-1} + 125^{n-2} + \ldots + 1) \)

Ответ: Это и требовалось доказать.