ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 4 Номер 790 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Пользуясь методом математической индукции, докажите, что если (b_n) — геометрическая прогрессия, то b_n=b_1 q^(n-1), S_n=b_1 (q^n-1)/(q-1).

Доказать равенства:

1) \( b_n = b_1 q^{n-1}; \)

Если \( n = 1, \) тогда:

\[
b_1 = b_1 \cdot q^{1-1} = b_1 q^0 = b_1;
\]

Если \( n = k + 1, \) тогда:

\[
\frac{b_n}{b_{n-1}} = \frac{b_1 \cdot q^k}{b_1 \cdot q^{k-1}} = q^1 = q;
\]

Что и требовалось доказать.

2) \( S_n = \frac{b_1 (q^n — 1)}{q — 1}; \)
Если \( n = 1, \) тогда:

\[
S_1 = \frac{b_1 (q^1 — 1)}{q — 1} = b_1;
\]

Если \( n = k + 1, \) тогда:

\[
S_n — S_{n-1} = \frac{b_1 (q^{k+1} — 1)}{q — 1} — \frac{b_1 (q^k — 1)}{q — 1} =
\]

\[
= \frac{b_1 (q^{k+1} — 1 — q^k + 1)}{q — 1} = \frac{b_1 (q \cdot q^k — q^k)}{q — 1} =
\]

\[
= \frac{b_1 q^k (q — 1)}{q — 1} = b_1 \cdot q^k = b_1 \cdot q^{n-1} = b_n;
\]

Что и требовалось доказать.

Шаг 1: Рассмотрим первое равенство \( b_n = b_1 q^{n-1} \) и докажем его по индукции.

Шаг 2: Если \( n = 1 \), тогда:

\( b_1 = b_1 \cdot q^{1-1} = b_1 \cdot q^0 = b_1 \)

Таким образом, для \( n = 1 \) равенство выполнено, так как \( b_1 = b_1 \).

Шаг 3: Если \( n = k + 1 \), то нужно доказать, что \( b_n = b_1 q^{n-1} \). Рассмотрим выражение для отношения \( \frac{b_n}{b_{n-1}} \):

\( \frac{b_n}{b_{n-1}} = \frac{b_1 \cdot q^k}{b_1 \cdot q^{k-1}} = q \)

Таким образом, мы показали, что для \( n = k + 1 \), равенство \( b_n = b_1 q^{n-1} \) выполняется.

Ответ 1: Равенство \( b_n = b_1 q^{n-1} \) доказано.

Шаг 4: Рассмотрим второе равенство \( S_n = \frac{b_1 (q^n — 1)}{q — 1} \) и докажем его.

Шаг 5: Если \( n = 1 \), тогда:

\( S_1 = \frac{b_1 (q^1 — 1)}{q — 1} = b_1 \)

Таким образом, для \( n = 1 \) равенство выполнено, так как \( S_1 = b_1 \).

Шаг 6: Если \( n = k + 1 \), то нужно доказать, что \( S_n — S_{n-1} = b_n \). Рассмотрим разницу между суммами \( S_n \) и \( S_{n-1} \):

\( S_n — S_{n-1} = \frac{b_1 (q^{k+1} — 1)}{q — 1} — \frac{b_1 (q^k — 1)}{q — 1} \)

Упростим выражение:

\( S_n — S_{n-1} = \frac{b_1 (q^{k+1} — 1 — q^k + 1)}{q — 1} = \frac{b_1 (q \cdot q^k — q^k)}{q — 1} \)

\( = \frac{b_1 q^k (q — 1)}{q — 1} = b_1 \cdot q^k \)

Мы получаем, что \( S_n — S_{n-1} = b_1 q^k = b_n \), что и требовалось доказать.

Ответ 2: Равенство \( S_n = \frac{b_1 (q^n — 1)}{q — 1} \) доказано.

Итог: Мы доказали два равенства:

Первое равенство: \( b_n = b_1 q^{n-1} \).

Второе равенство: \( S_n = \frac{b_1 (q^n — 1)}{q — 1} \).