ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 4 Номер 789 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Сколько членов геометрической прогрессии 6, 12, 24, … надо сложить, чтобы полученная сумма была: а) равна 3066; б) больше 6000?

В геометрической прогрессии:
\(6; \, 12; \, 24; \, …;\)

\( b_1 = 6, \, b_2 = 12, \, q = \frac{b_2}{b_1} = 2; \)

\[
S_n = \frac{b_1(q^n — 1)}{q — 1} = \frac{6(2^n — 1)}{2 — 1};
\]

\[
S_n = 6 \cdot (2^n — 1);
\]

a) \( S_n = 3066; \)
\[
6 \cdot (2^n — 1) = 3066;
\]

\[
2^n — 1 = 511;
\]

\[
2^n = 512, \, n = 9;
\]

Ответ: \( n = 9. \)

б) \( S_n > 6000; \)

\[
6 \cdot (2^n — 1) > 6000;
\]

\[
2^n — 1 > 1000;
\]

\[
2^n > 1001;
\]

\[
2^n > 512, \, n > 9;
\]

Ответ: \( n \geq 10. \)

Задача: Геометрическая прогрессия:

Дано: \(6; \, 12; \, 24; \, \dots\);

Первый член: \( b_1 = 6 \), второй член: \( b_2 = 12 \), знаменатель прогрессии: \( q = \frac{b_2}{b_1} = 2; \)

Сумма первых \(n\) членов геометрической прогрессии:

\[
S_n = \frac{b_1(q^n — 1)}{q — 1} = \frac{6(2^n — 1)}{2 — 1};
\]

\[
S_n = 6 \cdot (2^n — 1);
\]

a) \( S_n = 3066; \)

Шаг 1: Подставляем значение суммы в формулу:

\[
6 \cdot (2^n — 1) = 3066;
\]

Шаг 2: Решаем уравнение для \(2^n\):

\[
2^n — 1 = 511;
\]

\[
2^n = 512, \quad n = 9;
\]

Ответ: \( n = 9 \).

б) \( S_n > 6000; \)

Шаг 1: Подставляем значение в неравенство:

\[
6 \cdot (2^n — 1) > 6000;
\]

Шаг 2: Убираем 6 и решаем неравенство:

\[
2^n — 1 > 1000;
\]

\[
2^n > 1001;
\]

Шаг 3: Решаем для \(n\):

\[
2^n > 512, \quad n > 9;
\]

Ответ: \( n \geq 10 \).